Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 2.2:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Lösning 2.2:4c moved to Solution 2.2:4c: Robot: moved page)
Aktuelle Version (13:03, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.
-
<center> [[Image:2_2_4c-1(2).gif]] </center>
+
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}</math>}}
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
 
-
<center> [[Image:2_2_4c-2(2).gif]] </center>
+
Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}}
 +
 
 +
und schreiben den quadratischen Term wie
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
 +
 
 +
Machen wir die Substitution <math>u = (x+2)/2</math>, erhalten wir das erwünschte Integral
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}
 +
&= \left\{\begin{align}
 +
u &= (x+2)/2\\[5pt]
 +
du &= dx/2
 +
\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\arctan u + C\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2} + C\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.

dxx2+4x+8=dx(x+2)2−22+8=dx(x+2)2+4 

Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner

dx(x+2)2+4=dx441(x+2)2+1=41dx41(x+2)2+1 

und schreiben den quadratischen Term wie

41dx41(x+2)2+1=41dx2x+22+1. 

Machen wir die Substitution u=(x+2)2, erhalten wir das erwünschte Integral

41dx2x+22+1=udu=(x+2)2=dx2=412duu2+1=21duu2+1=21arctanu+C=21arctan2x+2+C.
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:4c“