Processing Math: Done
Lösung 2.3:1a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
K (Lösning 2.3:1a moved to Solution 2.3:1a: Robot: moved page) |
|||
(Der Versionsvergleich bezieht 6 dazwischen liegende Versionen mit ein.) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
- | {{ | + | Die Formel für partielle Integration lautet |
- | < | + | |
- | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}} |
- | {{ | + | |
- | < | + | wobei <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist. |
- | {{ | + | |
+ | Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos. | ||
+ | |||
+ | Im Integral | ||
+ | |||
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>\int 2xe^{-x}\,dx</math>}} | ||
+ | |||
+ | ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, da dann <math>g'(x) = 2</math> und <math>F(x) = -e^{-x}</math>, deren Produkte wir einfach integrieren können. | ||
+ | |||
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
+ | \int 2x\cdot e^{-x}\,dx | ||
+ | &= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt] | ||
+ | &= -2xe^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx\,\textrm{.} | ||
+ | \end{align}</math>}} | ||
+ | |||
+ | Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen. | ||
+ | |||
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
+ | \phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{} | ||
+ | &= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] | ||
+ | &= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] | ||
+ | &= -2(x+1)e^{-x} + C | ||
+ | \end{align}</math>}} |
Aktuelle Version
Die Formel für partielle Integration lautet
![]() ![]() ![]() ![]() |
wobei (x)
Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren (x)
Im Integral
![]() |
ist es sinnvoll (x)=2
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Schließlich müssen wir nur noch das Integral
![]() ![]() |