Processing Math: Done
Lösung 2.3:1a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}} | ||
- | + | wobei <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist. | |
- | Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos. | + | Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos. |
Im Integral | Im Integral | ||
- | {{Abgesetzte Formel||<math>\int 2xe^{-x}\,dx | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\int 2xe^{-x}\,dx</math>}} |
- | ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, | + | ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, da dann <math>g'(x) = 2</math> und <math>F(x) = -e^{-x}</math>, deren Produkte wir einfach integrieren können. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen | + | Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] | &= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] | ||
&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] | &= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] | ||
- | &= -2(x+1)e^{-x} + C | + | &= -2(x+1)e^{-x} + C |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} |
Aktuelle Version
Die Formel für partielle Integration lautet
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wobei (x)
Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren (x)
Im Integral
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ist es sinnvoll (x)=2
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Schließlich müssen wir nur noch das Integral
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