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Lösung 2.3:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we look at the formula for integration by parts,
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Die Formel für partielle Integration lautet
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx</math>.}}
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we see that if we choose <math>f(x)=\sin x</math> and <math>g(x)=x+1</math>, then the factor <math>g(x)</math> will be differentiated to a constant on the right-hand side of the integral. Naturally, this presupposes that we can find a primitive function for <math>f(x)</math> (which we can) and that we can then integrate it. Let's try!
+
Wir wählen hier <math>f(x)=\sin x</math> und <math>g(x)=x+1</math>, nachdem die Ableitung von <math>g(x)</math> nur eine Konstante ist.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= (x+1)\cdot (-\cos x) - \int 1\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
&= (x+1)\cdot (-\cos x) - \int 1\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
&= -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx\\[5pt]
&= -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx\\[5pt]
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&= -(x+1)\cos x + \sin x + C\,\textrm{.}
+
&= -(x+1)\cos x + \sin x + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Die Formel für partielle Integration lautet

f(x)g(x)dx=F(x)g(x)F(x)g(x)dx .

Wir wählen hier f(x)=sinx und g(x)=x+1, nachdem die Ableitung von g(x) nur eine Konstante ist.

(x+1)sinxdx=(x+1)(cosx)1(cosx)dx=(x+1)cosx+cosxdx=(x+1)cosx+sinx+C