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Lösung 2.3:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (08:00, 28. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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We can discern two factors in the integrand, <math>x</math> and <math>\ln x</math>. If we are thinking about using integration by parts, then one factor should be integrated and the other differentiated. It can seem attractive to choose to differentiate <math>x</math> because then it will become equal to 1, but then we have the problem of determining a primitive function for <math>\ln x</math> (how is that done?). Instead, a more successful way is to integrate <math>x</math> and to differentiate <math>\ln x</math>,
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Ein erster Gedanke ist hier, dass wir <math>x</math> ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dabei bleibt uns aber das Problem, eine Stammfunktion für <math>\ln x</math> zu finden. Stattdessen integrieren wir <math>x</math> und leiten <math>\ln x</math> ab.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt]
&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt]
&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt]
&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt]
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&= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C\,\textrm{.}
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&= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus, how one should choose the factors in an integration by parts is very dependent on the situation and there are no simple rules.
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Wie man die Faktoren wählt, ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln.

Aktuelle Version

Ein erster Gedanke ist hier, dass wir x ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dabei bleibt uns aber das Problem, eine Stammfunktion für lnx zu finden. Stattdessen integrieren wir x und leiten lnx ab.

xlnxdx=2x2lnx−2x2x1dx=2x2lnx−21xdx=2x2lnx−212x2+C=2x2lnx−21+C

Wie man die Faktoren wählt, ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln.

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