3.3 Potenzen und Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Erweitern wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.
Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.
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Durch die Lösungsformel erhalten wir
Durch die Lösungsformel erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}</math>,}}
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indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher
indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher

Version vom 11:02, 28. Aug. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der Moivresche Satz
  • Quadratische Gleichungen
  • Exponentialfunktionen
  • Quadratische Ergänzung

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
  • Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
  • Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
  • Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.

A - Moivrescher Satz

Die Rechenregeln \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ und \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ bedeuten, dass

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}


Für eine beliebige komplexe Zahl \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha) gilt daher, dass

\displaystyle z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}

Falls \displaystyle |\,z\,|=1 (also, dass \displaystyle z am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall

\displaystyle (\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{.}

Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.


Beispiel 1


Bestimme \displaystyle z^3 und \displaystyle z^{100} für \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2} .


Wir schreiben \displaystyle z in Polarform \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ und verwenden den Moivreschen Satz

\displaystyle \begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

Normalerweise würden wir hier die binomische Formel benutzen

\displaystyle \begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}

und mit den Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle (\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}

Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten


\displaystyle \biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3


Vereinfache \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.

Wir schreiben die Zahlen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} und \displaystyle 1+i in Polarform

  • \displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:.

Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden

\displaystyle \begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}


B - Die nte Wurzel von komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl \displaystyle z wird die nte Wurzel von \displaystyle w genannt, falls

\displaystyle z^n= w \mbox{.}

Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.

Ist eine Zahl \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) gegeben, nimmt man an, dass \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) und erhält so die Gleichung

\displaystyle r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}

wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}

Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}

Wir erhalten also einen Wert für \displaystyle r, aber unendlich viele Werte für \displaystyle \alpha. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von \displaystyle k zwischen \displaystyle k = 0 und \displaystyle k = n - 1 erhalten wir verschiedene Argumente für \displaystyle z und daher verschiedene Zahlen \displaystyle z. Für andere Werte von \displaystyle k wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen \displaystyle \cos \theta und \displaystyle \sin \theta periodisch sind und die Periodenlänge \displaystyle 2 \pi haben. Also hat eine Gleichung mit der Form \displaystyle z^n=w genau \displaystyle n Wurzeln.

Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um \displaystyle 2\pi/n unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} verteilt und bilden ein n-seitiges Polygon.


Beispiel 4


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.


Wir schreiben \displaystyle z und \displaystyle 16\,i in Polarform

  • \displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
  • \displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Die Gleichung \displaystyle \ z^4=16\,i\ wird also

\displaystyle r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}

Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

\displaystyle \left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]

\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.

[Image]


C - Exponentialform der komplexen Zahlen

Wenn wir \displaystyle i als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl \displaystyle z wie eine Funktion von nur \displaystyle \alpha betrachten (in der \displaystyle r also konstant ist), ergibt sich

\displaystyle f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)

und wir erhalten durch wiederholte Ableitung

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}

Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form \displaystyle f(x)= e^{\,kx}. Daher stammt folgende Definition:

\displaystyle e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}

Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir \displaystyle z=a+ib erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}

Die Definition von \displaystyle e^{\,z} kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.


Beispiel 5

Für eine reelle Zahl \displaystyle z ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da \displaystyle z=a+0\cdot i erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}

Beispiel 6

Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.

\displaystyle \bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}

Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.

\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{x\,y}

Beispiel 7


Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel

\displaystyle e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1

Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.

Beispiel 8

Löse die Gleichung \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.


Wir lassen \displaystyle w = z + i sein. Wir erhalten so die Gleichung \displaystyle \ w^3=-8i\,. Wir bringen als ersten Schritt \displaystyle w und \displaystyle -8i in Polarform

  • \displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}

In Polarform lautet die Gleichung \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ . Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

  • \displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
  • \displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}

also sind \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i und \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.

Beispiel 9


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.


Wenn für \displaystyle z=a+ib, \displaystyle |\,z\,|=r und \displaystyle \arg z = \alpha ist, ist für \displaystyle \overline{z}= a-ib \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r und \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Also ist \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} und \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Die Gleichung lautet also

\displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}

Wir sehen direkt, dass \displaystyle r=0 eine der Lösungen ist und daher die Lösung \displaystyle z=0 ergibt. Nehmen wir an, dass \displaystyle r\not=0 erhalten wir die Gleichung \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln sind also

  • \displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}


D - Quadratische Ergänzung

Die wohlbekannten Regeln

\displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.

können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}

Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} und, dass \displaystyle x=-2\pm 3 und daher \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=-5.


Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung

\displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.}

Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man quadratische Ergänzung.


Beispiel 10

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.

    Der Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -6 und daher müssen wir die Zahl \displaystyle (-3)^2=9 als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir
    \displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}

    Wir erhalten also \displaystyle x-3=\pm 2. Daher ist \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=5.

  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle z^2+8z+17=0 geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
    \displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*}

    und daher ist \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Also sind die Wurzeln \displaystyle z=-4-i und \displaystyle z=-4+i.

Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des x-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.


Beispiel 11


Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.


Der halbe Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Also müssen wir \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} auf beiden Seiten addieren

\displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}

Wir sehen, dass \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} und erhalten dadurch, dass \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, also \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} oder \displaystyle x=3.

Beispiel 12


Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.


Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}

Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen

\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}

Beispiel 13


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.



Der halbe Koeffizient von \displaystyle z ist \displaystyle -(6+2i). Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}

Erweitern wir die rechte Seite \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}

Wir erhalten \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ und daher die Wurzeln \displaystyle z=12+2i und \displaystyle z=2i.

Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}


Beispiel 14


Ergänze \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\, quadratisch.


Wir subtrahieren und addieren \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\, vom Ausdruck,

\displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}


E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel

Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie \displaystyle \sqrt{a+ib} entstehen. Man kann dann annehmen, dass

\displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}

Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.

Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man \displaystyle y= b/(2x) in der ersten Gleichung ersetzt.


Beispiel 15


Berechne \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.


Wir nehmen an, dass \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ , wobei \displaystyle x und \displaystyle y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*}

und wir erhalten die beiden Gleichungen

\displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}

Von der zweiten Gleichung erhalten wir \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ . Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt

\displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle x^2, die wir am einfachsten lösen, indem wir \displaystyle t=x^2 substituieren

\displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}

Die Lösungen sind \displaystyle t = 1 und \displaystyle t = -4. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da \displaystyle x und \displaystyle y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen \displaystyle x=\pm\sqrt{1} und dadurch

  • \displaystyle \ x=-1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
  • \displaystyle \ x=1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

Also ist

\displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 16


  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.

    Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)
    \displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}

    Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten
    \displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}
  3. Löse die Gleichung \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}

    Division auf beiden Seiten durch \displaystyle i ergibt
    \displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

    Durch die Lösungsformel erhalten wir

    \displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*}

    indem wir das Beispiel 15 verwenden, um \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ zu erhalten. Die Lösungen sind daher

    \displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}