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Lösung 3.3:1e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
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Some parts of the quotient have rather high exponents and this indicates that we ought to use polar form for the calculation.
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Wir rechnen in Polarform, da es dann einfacher ist, hohe Potenzen zu berechnen.
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First, we write <math>1+i\sqrt{3}</math>, <math>1-i</math> and <math>\sqrt{3}-i</math> in polar form.
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Zuerst bringen wir <math>1+i\sqrt{3}</math>, <math>1-i</math> und <math>\sqrt{3}-i</math> in Polarform.
<center>[[Image:3_3_1_e.gif]] [[Image:3_3_1_e_text.gif]]</center>
<center>[[Image:3_3_1_e.gif]] [[Image:3_3_1_e_text.gif]]</center>
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This shows that
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Also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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1+i\sqrt{3} &= 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\,,\\[5pt]
+
1+i\sqrt{3} &= 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\,\\[5pt]
-
1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\,,\\[5pt]
+
1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\,\\[5pt]
\sqrt{3}-i &= 2\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\,\textrm{.}
\sqrt{3}-i &= 2\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Now, with the help of de Moivre's formula,
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Mit den Moivreschen Satz erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Wir rechnen in Polarform, da es dann einfacher ist, hohe Potenzen zu berechnen.

Zuerst bringen wir 1+i3 , 1−i und 3−i  in Polarform.

Image:3_3_1_e.gif Image:3_3_1_e_text.gif

Also ist

1+i31−i3−i=2cos3+isin3=2cos−4+isin−4=2cos−6+isin−6.

Mit den Moivreschen Satz erhalten wir

3−i91+i3(1−i)8=2cos−6+isin−692cos3+isin32cos−4+isin−48=29cos9−6+isin9−62cos3+isin328cos8−4+isin8−4=29cos−23+isin−232cos3+isin32(12)8cos(−2)+isin(−2)=29cos−23+isin−232cos3+isin324(1+i0)=29224cos3−−23+isin3−−23=2925cos3+23+isin3+23=124cos611+isin611=116cos612−+isin612−=116cos2−6+isin2−6=116cos−6+isin−6=11623−i2=1323−i.
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