Processing Math: Done
Lösung 3.3:2b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur | + | Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
Version vom 12:02, 3. Sep. 2009
Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.
 +isin)=1(cos +isin) |
Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
| +isin3)=1(cos+isin). |
Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von
 r33=1 =+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl). |
Dadurch erhalten wir
   r=1=3+32n(n ist eine beliebige natürliche Zahl). |
Für jede dritte ganze Zahl
 1  cos3+isin3 1cos+isin1cos35+isin35=21+i 3−121−i3. |
Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.
