Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	If we treat the expression <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> as an unknown, we have the equation	+	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir
-	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{,}</math>}}
-	We know already that this equation has roots	+	deren Wurzeln wir schon kennen,
	{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
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	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	so <math>z</math> should satisfy one of the equation's	+	also muss <math>z</math> die Gleichung
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> oder <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i</math>}}
-	We solve these equations one by one.	+	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.
	*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:		*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:
-	:Multiply both sides by <math>z-i</math>,	+	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)</math>}}
-	:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite
	{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}
-	:This gives	+	:Das ergibt
	{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}
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	*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:		*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:
-	:Multiply both sides by <math>z-i</math>,	+	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)</math>}}
-	:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite
	{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}
-	:This gives	+	:Dies ergibt
	{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}
-	The solutions are therefore <math>z=-1</math> and <math>z=1\,</math>.	+	Die Wurzeln sind daher <math>z=-1</math> und <math>z=1\,</math>.

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Aktuelle Version

Wenn wir die Gleichung für w=z−iz+i lösen, erhalten wir

w2=−1,

deren Wurzeln wir schon kennen,

w=−ii

also muss z die Gleichung

z−iz+i=−i oder z−iz+i=i

erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.

• (z+i)(z−i)=−i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit z−i,

z+i=−i(z−i)

und ziehen alle z-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

z+iz=−1−i.

Das ergibt

z=1+i−1−i=1+i−(1+i)=−1.

• (z+i)(z−i)=i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit z−i,

z+i=i(z−i)

und ziehen alle z-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

z−iz=1−i.

Dies ergibt

z=1−i1−i=1.

Die Wurzeln sind daher z=−1 und z=1.