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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir die Gleichung	+	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir
-	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{,}</math>}}
-	wessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,	+	deren Wurzeln wir schon kennen,
	{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
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	also muss <math>z</math> die Gleichung		also muss <math>z</math> die Gleichung
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> oder <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i</math>}}
-	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.	+	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.
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	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,		:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)</math>}}
-	:und ziehen Alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite
	{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}
-	:Dies ergibt	+	:Das ergibt
	{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}
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	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,		:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)</math>}}
-	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite
	{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}

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Aktuelle Version

Wenn wir die Gleichung für w=z−iz+i lösen, erhalten wir

w2=−1,

deren Wurzeln wir schon kennen,

w=−ii

also muss z die Gleichung

z−iz+i=−i oder z−iz+i=i

erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.

• (z+i)(z−i)=−i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit z−i,

z+i=−i(z−i)

und ziehen alle z-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

z+iz=−1−i.

Das ergibt

z=1+i−1−i=1+i−(1+i)=−1.

• (z+i)(z−i)=i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit z−i,

z+i=i(z−i)

und ziehen alle z-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

z−iz=1−i.

Dies ergibt

z=1−i1−i=1.

Die Wurzeln sind daher z=−1 und z=1.