Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösung 3.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (12:52, 3. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht eine dazwischen liegende Version mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
'''Polar form'''
+
'''Polarform'''
-
Wir lösen die Gleichung zuerst in Polarform,
+
Wir schreiben die Gleichung zuerst in Polarform
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-
1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,,
+
1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
Zeile 12: Zeile 12:
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-
Damit die beiden Seiten gleich sein sollen. müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,
+
Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-
2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\quad
+
2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,.\quad
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Dies ergibt
+
Das ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]
r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]
-
\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,,\quad
+
\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,.\quad
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Dies entspricht zwei Lösungen, nachdem alle geraden Zahlen das Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus einen Multipel von <math>2\pi</math>, und alle ungerade Zahlen das Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus einen Multipel von <math>2\pi</math>.
+
Das entspricht zwei Lösungen, da alle geraden Zahlen dem Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus ein Vielfaches von <math>2\pi</math> und alle ungerade Zahlen dem Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus ein Vielfaches von <math>2\pi</math>.
In Polarform lauten die Lösungen also
In Polarform lauten die Lösungen also
Zeile 36: Zeile 36:
-
Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math> liegt im ersten Quadrant, und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math> liegt im dritten Quadrant.
+
Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math>, liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math>, liegt im dritten Quadrant.
[[Image:3_3_6.gif|center]]
[[Image:3_3_6.gif|center]]
-
''' Auf der Form ''a'' + ''bi'' '''
+
''' In der Form ''a'' + ''bi'' '''
Wir schreiben hier <math>z=x+iy</math> und versuchen die Konstanten <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.
Wir schreiben hier <math>z=x+iy</math> und versuchen die Konstanten <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.
-
Mit <math>z=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung
+
Mit <math>z=x+iy</math> erhalten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 52: Zeile 52:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Nachdem der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir
+
Da der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 59: Zeile 59:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Wir können hier <math>x</math> und <math>y</math> direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten,
+
Wir können hier <math>x</math> und <math>y</math> direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
und wir erhalten insgesamt dre Gleihungen,
+
Wir erhalten insgesamt drei Gleichungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 97: Zeile 97:
|}
|}
-
und wir erhalten;
+
und wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
-
Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten erhalten wir,
+
Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
||
||
Zeile 127: Zeile 127:
|}
|}
-
und wir erhalten;
+
und das ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
-
Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen
+
Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 153: Zeile 153:
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
-
Die zweite Gleichung sagt dass <math>xy</math> positiv sein soll, und wir behalten daher nur die Gleichungen
+
Die zweite Gleichung sagt auch, dass <math>xy</math> positiv sein soll. Wir behalten daher nur die Gleichungen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 165: Zeile 165:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Nachdem wir wissen dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen dies unsere Lösungen sein:
+
Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen diese unsere Lösungen sein
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \left\{\begin{align}
Zeile 176: Zeile 176:
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}
-
und daher ist
+
und daraus folgt
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 183: Zeile 183:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
und wir erhalten auch
+
Wir erhalten auch
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}
-
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit den konjugieren Nenner erweitern,
+
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit dem konjugierten Nenner erweitern
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\tan\frac{\pi}{8}
\tan\frac{\pi}{8}
-
&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}
+
&= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}
-
= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt]
+
= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt]
&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}
&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}
= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}
= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}
= \sqrt{2}-1\,\textrm{.}
= \sqrt{2}-1\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Polarform

Wir schreiben die Gleichung zuerst in Polarform

z1+i=r(cos+isin)=2cos4+isin4 

und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung

r2(cos2+isin2)=2cos4+isin4. 

Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Vielfaches von 2 unterscheiden

r22=2=4+2n

Das ergibt

r=2=21212=214=42=8+n

Das entspricht zwei Lösungen, da alle geraden Zahlen dem Argument 8 entsprechen, plus ein Vielfaches von 2 und alle ungerade Zahlen dem Argument 98 entsprechen, plus ein Vielfaches von 2.

In Polarform lauten die Lösungen also

z=42cos8+isin842cos89+isin89.


Eine Lösung, z=42(cos(8)+isin(8) , liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, z=42(cos(98)+isin(98)) , liegt im dritten Quadrant.


In der Form a + bi

Wir schreiben hier z=x+iy und versuchen die Konstanten x und y zu bestimmen.

Mit z=x+iy erhalten wir die Gleichung

(x+iy)2x2−y2+2xyi=1+i=1+i.

Da der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir

x2−y22xy=1=1. 

Wir können hier x und y direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten

x2+y2=12+12=2. 

Wir erhalten insgesamt drei Gleichungen

x2−y22xyx2+y2=1=1=2.

Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir

x2 − y2 = 1
+   x2 + y2 = 2 
2x2 = 2+1 

und wir erhalten

x=22+1. 

Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir

x2 + y2 = 2 
−   x2  − y2 = 1 
2y2 = 2−1 

und das ergibt

y=22−1. 

Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen.

xy=22+1=22−1xy=22+1=−22−1xy=−22+1=22−1xy=−22+1=−22−1

Die zweite Gleichung sagt auch, dass xy positiv sein soll. Wir behalten daher nur die Gleichungen.

xy=22+1=22−1undxy=−22+1=−22−1

Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen diese unsere Lösungen sein

z=22+1+i22−1−22+1−i22−1.

Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir

42cos8+isin8=22+1+i22−1 

und daraus folgt

cos8sin8=14222+1=14222−1.

Wir erhalten auch

tan8=sin8cos8=14222+114222−1=2+12−1.

Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit dem konjugierten Nenner erweitern

tan8=(2+1)(2−1)(2−1)(2−1)=(2−1)2(2)2−12=2−1(2−1)2=(2−1)2=2−1.
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:6“