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Lösung 3.3:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Diese Gleichung lösen wir am einfachsten indem wir sie in Polarform bringen,
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Diese Gleichung lösen wir am einfachsten, indem wir sie in Polarform bringen
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
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i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,,
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i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,.
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Die beiden Seiten sind gleich wenn
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Die beiden Seiten sind gleich, wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^2 &= 1\,,\\[5pt]
r^2 &= 1\,,\\[5pt]
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2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}
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2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.
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Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.
Die Wurzeln sind daher
Die Wurzeln sind daher

Version vom 13:01, 3. Sep. 2009

Diese Gleichung lösen wir am einfachsten, indem wir sie in Polarform bringen

zi=r(cos+isin)=1cos2+isin2 

Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir

r2(cos2+isin2)=1cos2+isin2. 

Die beiden Seiten sind gleich, wenn

r22=1=2+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl)

und wir erhalten dadurch

r=1=4+n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Wenn n=0 und n=1, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere n erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von 2 im Argument unterscheiden.

Die Wurzeln sind daher

z=1cos4+isin41cos43+isin43=21+i−21+i.
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