Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt]		x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt]
-	2xy &= \frac{3}{2}\,,	+	2xy &= \frac{3}{2}\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

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Aktuelle Version

Zuerst dividieren wir beide Seiten durch 4+i, sodass der Koeffizient von z2 dann 1 ist.

z2+4+i1−21iz=174+i

Die beiden komplexen Brüche sind

4+i1−21i174+i=(4+i)(4−i)(1−21i)(4−i)=42−i24−i−84i+21i2=16+1−17−85i=17−17−85i=−1−5i=17(4−i)(4+i)(4−i)=42−i217(4−i)=1717(4−i)=4−i.

Die Gleichung ist daher

z2−(1+5i)z=4−i.

Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

z−21+5i2−21+5i2z−21+5i2−41+25i+425i2z−21+5i2−41−25i+425z−21+5i2=4−i=4−i=4−i=−2+23i.

Lassen wir w=z−21+5i sein, erhalten wir die Gleichung

w2=−2+23i ,

die wir lösen, indem wir annehmen, dass w=x+iy

(x+iy)2=−2+23i

oder, falls wir die linke Seite erweitern,

x2−y2+2xyi=−2+23i.

Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung, erhalten wir

x2−y22xy=−2=23

Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung

x2+y2=(−2)2+232=25.

Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.

Wir erhalten die Gleichungen

x2−y22xyx2+y2=−2=23=25.

Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht x und y lösen.

Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten

	x2	−	y2	=	−2
+	x2	+	y2	=	25
	2x2			=	21

und wir erhalten x=21.

Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten

	x2	+	y2	=	25
−	x2	−	y2	=	−2
			2y2	=	29 ,

also y=23.

Dies ergibt vier mögliche Lösungen

xy=21=23xy=21=−23xy=−21=23xy=−21=−23

von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

xy=21=23undxy=−21=−23

Also erhalten wir die Lösungen

w=21+23i und w=−21−23i

und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen

z=1+4i und z=i

durch die Formel w=z−21+5i.

Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

z=1+4i:(4+i)z2+(1−21i)zz=i:(4+i)z2+(1−21i)z=(4+i)(1+4i)2+(1−21i)(1+4i)=(4+i)(1+8i+16i2)+(1+4i−21i−84i2)=(4+i)(−15+8i)+1−17i+84=−60+32i−15i+8i2+1−17i+84=−60+32i−15i−8+1−17i+84=17=(4+i)i2+(1−21i)i=(4+i)(−1)+i−21i2=−4−i+i+21=17.