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Lösung 3.4:2

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (10:26, 4. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
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If the equation has the root <math>z=1</math>, this means, according to the factor rule, that the equation must contain the factor <math>z-1</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as
+
Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, daher ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math> ,}}
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for some constants <math>A</math> and <math>B</math>. We can determine the second unknown factor using polynomial division,
+
wobei <math>A</math> und <math>B</math> Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 18: Zeile 18:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus, the equation can be written as
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Daher ist unsere Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor
+
Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
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<math>z^2-2z+2</math>. This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors <math>z-1</math> or <math>z^2-2z+2</math> is zero, and we see directly that <math>z-1</math> is zero only when <math>z=1\,</math>.
+
<math>z^2-2z+2</math> sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist, wenn <math>z=1\,</math>.
-
Hence, we determine the roots by solving the equation
+
Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0</math>}}
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Completing the square gives
+
durch quadratische Ergänzung lösen
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]
(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]
-
(z-1)^2 &= -1\,,
+
(z-1)^2 &= -1
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and taking the root gives that <math>z-1=\pm i</math>, i.e. <math>z=1-i</math> and
+
und wir erhalten <math>z-1=\pm i</math>, also <math>z=1-i</math> und
<math>z=1+i\,</math>.
<math>z=1+i\,</math>.
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The equation's other roots are <math>z=1-i</math> and <math>z=1+i\,</math>.
+
Die anderen Wurzeln sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.
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As an extra check, we investigate whether <math>z = 1 \pm i</math> really are roots of the equation.
+
Wir kontrollieren, ob <math>z = 1 \pm i</math> Wurzeln der Gleichung sind
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
Zeile 64: Zeile 64:
&= 0\,\textrm{.}
&= 0\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
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Note: Writing
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2</math>}}
 
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is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.
 

Aktuelle Version

Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) z=1 hat, ist z−1 ein Faktor im Polynom, daher ist

z3−3z2+4z−2=(z2+Az+B)(z−1) ,

wobei A und B Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen

z2+Az+B=z−1z3−3z2+4z−2=z−1z3−z2+z2−3z2+4z−2=z−1z2(z−1)−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+2z−2z+4z−2=z2+z−1−2z(z−1)+2z−2=z2−2z+z−12z−2=z2−2z+z−12(z−1)=z2−2z+2.

Daher ist unsere Gleichung

(z−1)(z2−2z+2)=0.

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von z2−2z+2 sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn z−1 oder wenn z2−2z+2 null ist. Wir sehen direkt, dass z−1 nur null ist, wenn z=1.

Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

z2−2z+2=0

durch quadratische Ergänzung lösen

(z−1)2−12+2(z−1)2=0=−1

und wir erhalten z−1=i, also z=1−i und \displaystyle z=1+i\,.

Die anderen Wurzeln sind also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.


Wir kontrollieren, ob \displaystyle z = 1 \pm i Wurzeln der Gleichung sind

\displaystyle \begin{align} z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt] &= (1-i)(1+i)-2\\[5pt] &= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt] &= (1+i)(1-i)-2\\[5pt] &= 1^2-i^2-2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}

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