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Lösung 3.4:2

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, daher ist
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wobei <math>A</math> und <math>B</math> Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen
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z^2+Az+B
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&= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
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Daher ist unsere Gleichung
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Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
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<math>z^2-2z+2</math> sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist, wenn <math>z=1\,</math>.
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Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung
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durch quadratische Ergänzung lösen
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(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]
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(z-1)^2 &= -1
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und wir erhalten <math>z-1=\pm i</math>, also <math>z=1-i</math> und
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<math>z=1+i\,</math>.
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Die anderen Wurzeln sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.
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Wir kontrollieren, ob <math>z = 1 \pm i</math> Wurzeln der Gleichung sind
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<math>\begin{align}
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z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2
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&= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt]
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&= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt]
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&= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt]
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&= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt]
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&= (1-i)(1+i)-2\\[5pt]
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&= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt]
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&= 1+1-2\\[5pt]
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&= 0\,,\\[10pt]
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z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2
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&= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt]
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&= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt]
 +
&= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt]
 +
&= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt]
 +
&= (1+i)(1-i)-2\\[5pt]
 +
&= 1^2-i^2-2\\[5pt]
 +
&= 1+1-2\\[5pt]
 +
&= 0\,\textrm{.}
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\end{align}</math>

Aktuelle Version

Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) z=1 hat, ist z−1 ein Faktor im Polynom, daher ist

z3−3z2+4z−2=(z2+Az+B)(z−1) ,

wobei A und B Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen

z2+Az+B=z−1z3−3z2+4z−2=z−1z3−z2+z2−3z2+4z−2=z−1z2(z−1)−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+2z−2z+4z−2=z2+z−1−2z(z−1)+2z−2=z2−2z+z−12z−2=z2−2z+z−12(z−1)=z2−2z+2.

Daher ist unsere Gleichung

(z−1)(z2−2z+2)=0.

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von z2−2z+2 sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn z−1 oder wenn z2−2z+2 null ist. Wir sehen direkt, dass z−1 nur null ist, wenn z=1.

Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

z2−2z+2=0

durch quadratische Ergänzung lösen

(z−1)2−12+2(z−1)2=0=−1

und wir erhalten z−1=i, also z=1−i und z=1+i.

Die anderen Wurzeln sind also z=1−i und z=1+i.


Wir kontrollieren, ob z=1i Wurzeln der Gleichung sind

z=1+i:z3−3z2+4z−2z=1−i:z3−3z2+4z−2=(z−3)z+4z−2=(1+i−3)(1+i)+4(1+i)−2=(−2+i)(1+i)+4(1+i)−2=(−2+i−2i−1+4)(1+i)−2=(1−i)(1+i)−2=12−i2−2=1+1−2=0=(z−3)z+4z−2=(1−i−3)(1−i)+4(1−i)−2=(−2−i)(1−i)+4(1−i)−2=(−2−i+2i−1+4)(1−i)−2=(1+i)(1−i)−2=12−i2−2=1+1−2=0.

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