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Lösung 3.4:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir addieren einen Term, sodass wir <math>x^3</math> los werden. Wir addieren und subtrahieren daher <math>ax^2</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}
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Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}
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&= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
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&= \frac{x^2(x+a)}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
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&= x^2 + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Jetzt addieren und subtrahieren wir <math>-a^2x</math> zu/von <math>-ax^2</math> damit wir etwas durch <math>x+a</math> Teilbares erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a}
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&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
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&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
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&= x^2 + \frac{-ax(x+a)}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
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&= x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Im letzten Bruch haben wir <math>x+a</math> als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}
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Also erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}
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Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit <math>x+a</math> multiplizieren
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}
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Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Rechte Seite}
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&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
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&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
 +
&= x^3+a^3\\[5pt]
 +
&= \text{Linke Seite.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir addieren einen Term, sodass wir x3 los werden. Wir addieren und subtrahieren daher ax2

x+ax3+a3=x+ax3+ax2−ax2+a3.

Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können

x+ax3+ax2−ax2+a3=x+ax3+ax2+x+a−ax2+a3=x+ax2(x+a)+x+a−ax2+a3=x2+x+a−ax2+a3.

Jetzt addieren und subtrahieren wir −a2x zu/von −ax2 damit wir etwas durch x+a Teilbares erhalten

x2+x+a−ax2+a3=x2+x+a−ax2−a2x+a2x+a3=x2+x+a−ax2−a2x+x+aa2x+a3=x2+x+a−ax(x+a)+x+aa2x+a3=x2−ax+x+aa2x+a3.

Im letzten Bruch haben wir x+a als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher

x2−ax+x+aa2x+a3=x2−ax+x+aa2(x+a)=x2−ax+a2.

Also erhalten wir

x+ax3+a3=x2−ax+a2

Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit x+a multiplizieren

x3+a3=(x2−ax+a2)(x+a).

Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten

Rechte Seite=(x2−ax+a2)(x+a)=x3+ax2−ax2−a2x+a2x+a3=x3+a3=Linke Seite.
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