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Lösung 3.4:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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We start by adding and taking away <math>x^2</math> in the numerator, so that, in combination with <math>x^3</math>, we obtain the expression <math>x^3+x^2 = x^2(x+1)</math> which can be simplified with the denominator <math>x+1</math>,
+
Wir beginnen damit, <math>x^2</math> zu addieren und subtrahieren, sodass wir <math>x^3+x^2 = x^2(x+1)</math> im Zähler erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 9: Zeile 9:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The term <math>-x^2</math> in the remaining quotient needs to complemented with
+
Danach addieren und subtrahieren wir
-
<math>-x</math> so that we get <math>-x^2-x = -x(x+1)</math>, which is divisible by
+
<math>-x</math>, sodass wir <math>-x^2-x = -x(x+1)</math> erhalten, da dies durch
-
<math>x+1</math>,
+
<math>x+1</math> teilbar ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 21: Zeile 21:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The last quotient divides perfectly and we obtain
+
Wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^2-x+2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{2x+2}{x+1}=x^2-x+2\,\textrm{.}</math>}}
-
A quick check of whether
+
Wir testen, ob
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+x+2}{x+1} = x^2-x+2\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+x+2}{x+1} = x^2-x+2\,\textrm{,}</math>}}
-
is the correct answer is to investigate whether
+
indem wir kontrollieren, ob
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1)</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+x+2 = (x^2-x+2)(x+1)</math> .}}
-
holds. If we expand the right-hand side, we see that the relation really does hold
+
Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.}
(x^2-x+2)(x+1) = x^3+x^2-x^2-x+2x+2 = x^3+x+2\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir beginnen damit, x2 zu addieren und subtrahieren, sodass wir x3+x2=x2(x+1) im Zähler erhalten

x+1x3+x+2=x+1x3+x2−x2+x+2=x+1x3+x2+x+1−x2+x+2=x+1x2(x+1)+x+1−x2+x+2=x2+x+1−x2+x+2.

Danach addieren und subtrahieren wir −x, sodass wir −x2−x=−x(x+1) erhalten, da dies durch x+1 teilbar ist

x2+x+1−x2+x+2=x2+x+1−x2−x+x+x+2=x2+x+1−x2−x+x+12x+2=x2+x+1−x(x+1)+x+12x+2=x2−x+x+12x+2.

Wir erhalten

x2−x+x+12x+2=x2−x+2.

Wir testen, ob

x+1x3+x+2=x2−x+2,

indem wir kontrollieren, ob

x3+x+2=(x2−x+2)(x+1) .

Wir erweitern die rechte Seite und sehen, dass alles stimmt

(x2−x+2)(x+1)=x3+x2−x2−x+2x+2=x3+x+2.
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