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Lösung 3.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
Nachdem <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
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<math>z=1-2i</math> substituieren,
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<math>z=1-2i</math> substituieren
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,
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Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
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und separieren den Real- und Imaginärteil,
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und separieren den Real- und Imaginärteil
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
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und erhalten,
+
und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
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und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.
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und eine der Wurzeln ist <math>z=1-2i</math>.
Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.
Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}
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wo <math>z-A</math> der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
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wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 11:54, 4. Sep. 2009

Nachdem z=1−2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir z=1−2i substituieren

(1−2i)3+a(1−2i)+b=0.

Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir a und b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

−11+2i+a(1−2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil

(−11+a+b)+(2−2a)i=0.

und erhalten

−11+a+b2−2a=0=0. 

Dies ergibt a=1 und b=10.

Die Gleichung ist daher

z3+z+10=0

und eine der Wurzeln ist z=1−2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

z−(1−2i)z−(1+2i)=z2−2z+5 

enthalten, also ist

z3+z+10=(z−A)(z2−2z+5)

wobei z−A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

z−A=z2−2z+5z3+z+10=z2−2z+5z3−2z2+5z+2z2−5z+z+10=z2−2z+5z(z2−2z+5)+2z2−4z+10=z+z2−2z+52z2−4z+10=z+z2−2z+52(z2−2z+5)=z+2.

Also ist die letzte Wurzel z=−2.

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