Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 11:56, 4. Sep. 2009 (bearbeiten) Sekretariat1 (Diskussion | Beiträge) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Version vom 11:56, 4. Sep. 2009 (bearbeiten) (rückgängig) Sekretariat1 (Diskussion | Beiträge) Zum nächsten Versionsunterschied →
Zeile 19:		Zeile 19:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	Dies ergibt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.	+	Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
	Die Gleichung ist daher		Die Gleichung ist daher

---

Version vom 11:56, 4. Sep. 2009

Da z=1−2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir z=1−2i substituieren

(1−2i)3+a(1−2i)+b=0.

Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir a und b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

−11+2i+a(1−2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil

(−11+a+b)+(2−2a)i=0.

Das ergibt

−11+a+b2−2a=0=0.

Daraus folgt a=1 und b=10.

Die Gleichung ist daher

z3+z+10=0

und eine der Wurzeln ist z=1−2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

z−(1−2i)z−(1+2i)=z2−2z+5

enthalten, also ist

z3+z+10=(z−A)(z2−2z+5)

wobei z−A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

z−A=z2−2z+5z3+z+10=z2−2z+5z3−2z2+5z+2z2−5z+z+10=z2−2z+5z(z2−2z+5)+2z2−4z+10=z+z2−2z+52z2−4z+10=z+z2−2z+52(z2−2z+5)=z+2.

Also ist die letzte Wurzel z=−2.