Lösung 3.4:4
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
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| + | Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}} | ||
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| + | und separieren den Real- und Imaginärteil | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}} | ||
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| + | Das ergibt | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
| + | -11+a+b &= 0\,,\\[5pt] | ||
| + | 2-2a &= 0\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}\right.</math>}} | ||
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| + | Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>. | ||
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| + | Die Gleichung ist daher | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}} | ||
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| + | und eine der Wurzeln ist <math>z=1-2i</math>. | ||
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| + | Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist. | ||
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| + | Also wird das Polynom den Faktor | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}} | ||
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| + | enthalten, also ist | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math> ,}} | ||
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| + | wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | z-A | ||
| + | &= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] | ||
| + | &= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] | ||
| + | &= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt] | ||
| + | &= z+2\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
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| + | Also ist die letzte Wurzel <math>z=-2</math>. | ||
Aktuelle Version
Da \displaystyle z=1-2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir \displaystyle z=1-2i substituieren
| \displaystyle (1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.} |
Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir \displaystyle a und \displaystyle b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten
| \displaystyle -11+2i+a(1-2i)+b=0 |
und separieren den Real- und Imaginärteil
| \displaystyle (-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.} |
Das ergibt
| \displaystyle \left\{\begin{align}
-11+a+b &= 0\,,\\[5pt] 2-2a &= 0\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Daraus folgt \displaystyle a=1 und \displaystyle b=10.
Die Gleichung ist daher
| \displaystyle z^3+z+10=0 |
und eine der Wurzeln ist \displaystyle z=1-2i.
Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch \displaystyle z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.
Also wird das Polynom den Faktor
| \displaystyle \bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5 |
enthalten, also ist
| \displaystyle z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5) , |
wobei \displaystyle z-A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
| \displaystyle \begin{align}
z-A &= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z+2\,\textrm{.} \end{align} |
Also ist die letzte Wurzel \displaystyle z=-2.
