Lösung 3.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Because
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Da <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
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<math>z=\text{1}-\text{2}i</math>
+
<math>z=1-2i</math> substituieren
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should be a root of the equation, we can substitute
+
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<math>z=\text{1}-\text{2}i</math>
+
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in and the equation should be satisfied:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\left( \text{1}-\text{2}i \right)^{3}+a\left( \text{1}-\text{2}i \right)+b=0</math>
+
Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
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We will therefore adjust the constants
+
und separieren den Real- und Imaginärteil
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<math>a</math>
+
-
and
+
-
<math>b</math>
+
-
so that the relation above holds. We simplify the left-hand side,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>-11+2i+a\left( \text{1}-\text{2}i \right)+b=0</math>
+
Das ergibt
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
-11+a+b &= 0\,,\\[5pt]
 +
2-2a &= 0\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
and collect together the real and imaginary parts:
+
Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
 +
Die Gleichung ist daher
-
<math>\left( -11+a+b \right)+\left( 2-2a \right)i=0</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
 +
und eine der Wurzeln ist <math>z=1-2i</math>.
-
If the left-hand side is to equal the right-hand side, the left-hand side's real and imaginary parts must be equal to zero, i.e.
+
Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.
 +
Also wird das Polynom den Faktor
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
enthalten, also ist
-
-11+a+b=0 \\
+
-
2-2a=0 \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math> ,}}
-
This gives
+
wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
-
<math>a=\text{1}</math>
+
-
and
+
-
<math>b=\text{1}0</math>.
+
-
The equation is thus
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
z-A
 +
&= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt]
 +
&= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt]
 +
&= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt]
 +
&= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt]
 +
&= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt]
 +
&= z+2\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
 
+
Also ist die letzte Wurzel <math>z=-2</math>.
-
<math>z^{2}+z+10=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and has the prescribed root
+
-
<math>z=\text{1}-\text{2}i</math>.
+
-
 
+
-
What we have is a polynomial with real coefficients and we therefore know that the equation has, in addition, the complex conjugate root
+
-
<math>z=\text{1}+\text{2}i</math>.
+
-
 
+
-
Hence, we know two of the equation's three roots and we can obtain the third root with help of the factor theorem. According to the factor theorem, the equation's left-hand side contains the factor
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left( z-\left( 1-2i \right) \right)\left( z-\left( 1+2i \right) \right)=z^{2}-2z+5</math>
+
-
 
+
-
+
-
and this means that we can write
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z^{3}+z+10=\left( z-A \right)\left( z^{2}-2z+5 \right)</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
where
+
-
<math>z-A</math>
+
-
is the factor which corresponds to the third root
+
-
<math>z=A</math>. Using polynomial division, we obtain the factor
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& z-A=\frac{z^{3}+z+10}{z^{2}-2z+5} \\
+
-
& =\frac{z^{3}-2z^{2}+5z+2z^{2}-5z+z+10}{z^{2}-2z+5} \\
+
-
& =\frac{z\left( z^{2}-2z+5 \right)+2z^{2}-4z+10}{z^{2}-2z+5} \\
+
-
& =z+\frac{2z^{2}-4z+10}{z^{2}-2z+5} \\
+
-
& =z+\frac{2\left( z^{2}-2z+5 \right)}{z^{2}-2z+5} \\
+
-
& =z+2 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Thus, the remaining root is
+
-
<math>z=-\text{2}</math>.
+

Aktuelle Version

Da \displaystyle z=1-2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir \displaystyle z=1-2i substituieren

\displaystyle (1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}

Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir \displaystyle a und \displaystyle b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

\displaystyle -11+2i+a(1-2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil

\displaystyle (-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}

Das ergibt

\displaystyle \left\{\begin{align}

-11+a+b &= 0\,,\\[5pt] 2-2a &= 0\,\textrm{.} \end{align}\right.

Daraus folgt \displaystyle a=1 und \displaystyle b=10.

Die Gleichung ist daher

\displaystyle z^3+z+10=0

und eine der Wurzeln ist \displaystyle z=1-2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch \displaystyle z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

\displaystyle \bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5

enthalten, also ist

\displaystyle z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5) ,

wobei \displaystyle z-A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

\displaystyle \begin{align}

z-A &= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z+2\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die letzte Wurzel \displaystyle z=-2.

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