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Lösung 3.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (11:56, 4. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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Because <math>z=1-2i</math> should be a root of the equation, we can substitute
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Da <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
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<math>z=1-2i</math> in and the equation should be satisfied,
+
<math>z=1-2i</math> substituieren
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
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We will therefore adjust the constants <math>a</math> and <math>b</math> so that the relation above holds. We simplify the left-hand side,
+
Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
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and collect together the real and imaginary parts,
+
und separieren den Real- und Imaginärteil
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
-
If the left-hand side is to equal the right-hand side, the left-hand side's real and imaginary parts must be equal to zero, i.e.
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Das ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 19: Zeile 19:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
This gives <math>a=1</math> and <math>b=10</math>.
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Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
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The equation is thus
+
Die Gleichung ist daher
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
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and has the prescribed root <math>z=1-2i</math>.
+
und eine der Wurzeln ist <math>z=1-2i</math>.
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What we have is a polynomial with real coefficients and we therefore know that the equation has, in addition, the complex conjugate root <math>z=1+2i</math>.
+
Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.
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Hence, we know two of the equation's three roots and we can obtain the third root with help of the factor theorem. According to the factor theorem, the equation's left-hand side contains the factor
+
Also wird das Polynom den Faktor
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
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and this means that we can write
+
enthalten, also ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math> ,}}
-
where <math>z-A</math> is the factor which corresponds to the third root <math>z=A</math>. Using polynomial division, we obtain the factor
+
wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 49: Zeile 49:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus, the remaining root is <math>z=-2</math>.
+
Also ist die letzte Wurzel <math>z=-2</math>.

Aktuelle Version

Da z=1−2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir z=1−2i substituieren

(1−2i)3+a(1−2i)+b=0.

Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir a und b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

−11+2i+a(1−2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil

(−11+a+b)+(2−2a)i=0.

Das ergibt

−11+a+b2−2a=0=0. 

Daraus folgt a=1 und b=10.

Die Gleichung ist daher

z3+z+10=0

und eine der Wurzeln ist z=1−2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

z−(1−2i)z−(1+2i)=z2−2z+5 

enthalten, also ist

z3+z+10=(z−A)(z2−2z+5) ,

wobei z−A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

z−A=z2−2z+5z3+z+10=z2−2z+5z3−2z2+5z+2z2−5z+z+10=z2−2z+5z(z2−2z+5)+2z2−4z+10=z+z2−2z+52z2−4z+10=z+z2−2z+52(z2−2z+5)=z+2.

Also ist die letzte Wurzel z=−2.

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.4:4“