Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Because <math>z=1-2i</math> should be a root of the equation, we can substitute	+	Da <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
-	<math>z=1-2i</math> in and the equation should be satisfied,	+	<math>z=1-2i</math> substituieren
	{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	We will therefore adjust the constants <math>a</math> and <math>b</math> so that the relation above holds. We simplify the left-hand side,	+	Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten
	{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
-	and collect together the real and imaginary parts,	+	und separieren den Real- und Imaginärteil
	{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
-	If the left-hand side is to equal the right-hand side, the left-hand side's real and imaginary parts must be equal to zero, i.e.	+	Das ergibt
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	This gives <math>a=1</math> and <math>b=10</math>.	+	Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
-	The equation is thus	+	Die Gleichung ist daher
	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
-	and has the prescribed root <math>z=1-2i</math>.	+	und eine der Wurzeln ist <math>z=1-2i</math>.
-	What we have is a polynomial with real coefficients and we therefore know that the equation has, in addition, the complex conjugate root <math>z=1+2i</math>.	+	Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.
-	Hence, we know two of the equation's three roots and we can obtain the third root with help of the factor theorem. According to the factor theorem, the equation's left-hand side contains the factor	+	Also wird das Polynom den Faktor
	{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
-	and this means that we can write	+	enthalten, also ist
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math> ,}}
-	where <math>z-A</math> is the factor which corresponds to the third root <math>z=A</math>. Using polynomial division, we obtain the factor	+	wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 49:		Zeile 49:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Thus, the remaining root is <math>z=-2</math>.	+	Also ist die letzte Wurzel <math>z=-2</math>.

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Aktuelle Version

Da \displaystyle z=1-2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir \displaystyle z=1-2i substituieren

\displaystyle (1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}

Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir \displaystyle a und \displaystyle b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

\displaystyle -11+2i+a(1-2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil

\displaystyle (-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}

Das ergibt

\displaystyle \left\{\begin{align} -11+a+b &= 0\,,\\[5pt] 2-2a &= 0\,\textrm{.} \end{align}\right.

Daraus folgt \displaystyle a=1 und \displaystyle b=10.

Die Gleichung ist daher

\displaystyle z^3+z+10=0

und eine der Wurzeln ist \displaystyle z=1-2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch \displaystyle z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

\displaystyle \bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5

enthalten, also ist

\displaystyle z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5) ,

wobei \displaystyle z-A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

\displaystyle \begin{align} z-A &= \frac{z^3+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z^3-2z^2+5z+2z^2-5z+z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= \frac{z(z^2-2z+5)+2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2z^2-4z+10}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z + \frac{2(z^2-2z+5)}{z^2-2z+5}\\[5pt] &= z+2\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die letzte Wurzel \displaystyle z=-2.