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Lösung 3.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
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Da <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
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<math>z=1-2i</math> substituieren,
+
<math>z=1-2i</math> substituieren
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,
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Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
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und separieren den Real- und Imaginärteil,
+
und separieren den Real- und Imaginärteil
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
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und erhalten,
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Das ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 19: Zeile 19:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Dies ergibt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
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Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
Die Gleichung ist daher
Die Gleichung ist daher
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
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und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.
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und eine der Wurzeln ist <math>z=1-2i</math>.
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Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch <math>z=1+2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist.
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Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.
Also wird das Polynom den Faktor
Also wird das Polynom den Faktor
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
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enthalten, und also ist
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enthalten, also ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math> ,}}
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wo <math>z-A</math> der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
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wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Da z=1−2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir z=1−2i substituieren

(1−2i)3+a(1−2i)+b=0.

Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir a und b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

−11+2i+a(1−2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil

(−11+a+b)+(2−2a)i=0.

Das ergibt

−11+a+b2−2a=0=0. 

Daraus folgt a=1 und b=10.

Die Gleichung ist daher

z3+z+10=0

und eine der Wurzeln ist z=1−2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

z−(1−2i)z−(1+2i)=z2−2z+5 

enthalten, also ist

z3+z+10=(z−A)(z2−2z+5) ,

wobei z−A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

z−A=z2−2z+5z3+z+10=z2−2z+5z3−2z2+5z+2z2−5z+z+10=z2−2z+5z(z2−2z+5)+2z2−4z+10=z+z2−2z+52z2−4z+10=z+z2−2z+52(z2−2z+5)=z+2.

Also ist die letzte Wurzel z=−2.

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