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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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	{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
-	und erhalten	+	Das ergibt
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	Dies ergibt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.	+	Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
	Die Gleichung ist daher		Die Gleichung ist daher
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	enthalten, also ist		enthalten, also ist
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math> ,}}
	wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision		wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

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Aktuelle Version

Da z=1−2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir z=1−2i substituieren

(1−2i)3+a(1−2i)+b=0.

Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir a und b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

−11+2i+a(1−2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil

(−11+a+b)+(2−2a)i=0.

Das ergibt

−11+a+b2−2a=0=0.

Daraus folgt a=1 und b=10.

Die Gleichung ist daher

z3+z+10=0

und eine der Wurzeln ist z=1−2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

z−(1−2i)z−(1+2i)=z2−2z+5

enthalten, also ist

z3+z+10=(z−A)(z2−2z+5) ,

wobei z−A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

z−A=z2−2z+5z3+z+10=z2−2z+5z3−2z2+5z+2z2−5z+z+10=z2−2z+5z(z2−2z+5)+2z2−4z+10=z+z2−2z+52z2−4z+10=z+z2−2z+52(z2−2z+5)=z+2.

Also ist die letzte Wurzel z=−2.