Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösung 3.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (11:56, 4. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht eine dazwischen liegende Version mit ein.)
Zeile 19: Zeile 19:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Dies ergibt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
+
Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
Die Gleichung ist daher
Die Gleichung ist daher
Zeile 35: Zeile 35:
enthalten, also ist
enthalten, also ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math> ,}}
wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

Aktuelle Version

Da z=1−2i eine Wurzel der Gleichung ist, können wir z=1−2i substituieren

(1−2i)3+a(1−2i)+b=0.

Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir a und b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

−11+2i+a(1−2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil

(−11+a+b)+(2−2a)i=0.

Das ergibt

−11+a+b2−2a=0=0. 

Daraus folgt a=1 und b=10.

Die Gleichung ist daher

z3+z+10=0

und eine der Wurzeln ist z=1−2i.

Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

z−(1−2i)z−(1+2i)=z2−2z+5 

enthalten, also ist

z3+z+10=(z−A)(z2−2z+5) ,

wobei z−A der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

z−A=z2−2z+5z3+z+10=z2−2z+5z3−2z2+5z+2z2−5z+z+10=z2−2z+5z(z2−2z+5)+2z2−4z+10=z+z2−2z+52z2−4z+10=z+z2−2z+52(z2−2z+5)=z+2.

Also ist die letzte Wurzel z=−2.

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.4:4“