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Lösung 3.4:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math> wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
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Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
In unseren Fall bedeutet dies, dass
In unseren Fall bedeutet dies, dass
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}
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wo <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist, und
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wobei <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist und
<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.
<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.
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Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> sodass die obere Gleichung stimmt.
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Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.
Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir
Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>,
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Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Nachdem <math>d=-3c</math> ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
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also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Da <math>d=-3c</math>, ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
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<math>a</math> und <math>b</math>,
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<math>a</math> und <math>b</math>
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:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>,
:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>,
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:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>,
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:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>.

Version vom 12:00, 4. Sep. 2009

Ein Polynom hat die dreifache Wurzel z=c, wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

z4−6z2+az+b=(z−c)3(z−d) ,

wobei z=c die dreifache Wurzel ist und z=d die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir

(z−c)3(z−d)=(z−c)2(z−c)(z−d)=(z2−2cz+c2)(z−c)(z−d)=(z3−3cz2+3c2z−c3)(z−d)=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c−3d)z+c3d

und daher muss

z4−6z2+az+b=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c−3d)z+c3d.

Nachdem zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c−3d)c3d=0=−6=a=b.

Von der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder c=1. Da d=−3c, ist d=3 oder d=−3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir a und b


c=1 d=−3:abc=−1 d=3:ab=−12(1−3(−3))=8=13(−3)=−3=−(−1)2(−1−33)=10=(−1)33=−3.

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

  • a=8 und b=−3 ergibt eine dreifache Wurzel in z=1 und eine einfache Wurzel in z=−3,
  • a=10 und b=−3 ergibt eine dreifache Wurzel in z=−1 und eine einfache Wurzel in z=3.
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