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Lösung 3.4:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
First, we try to determine the pure imaginary root.
+
Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
-
We can write the imaginary root as , where is a real number. If we substitute in , the equation should then be satisfied,
+
Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist. Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
-
<math>\left( ia \right)^{4}+3\left( ia \right)^{3}+\left( ia \right)^{2}+18\left( ia \right)-30=0</math>
+
also
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}
-
i.e.
+
Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}</math>}}
-
<math>a^{4}-3^{3}i-a^{2}+18ai-30=0</math>
+
also
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt]
 +
a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
and, if collect together the real and imaginary parts on the left-hand side, we have
+
Die zweite Gleichung ergibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.
 +
Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
-
<math>\left( a^{4}-a^{2}-30 \right)+a\left( -3a^{2}+18 \right)i=0</math>
+
Da die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math> hat, enthält das Polynom den Faktor
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6 </math>}}
-
If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero,
+
und daher ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.
-
a^{4}-a^{2}-30=0 \\
+
-
a\left( -3a^{2}+18 \right)=0 \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
 +
Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision
-
The other relation gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>a=0\text{ }</math>
+
z^2+Az+B
-
or
+
&= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
-
<math>a=\pm \sqrt{6}</math>, but it is only
+
&= \frac{z^4+6z^2-6z^2+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
-
<math>a=\pm \sqrt{6}</math>
+
&= \frac{z^2(z^2+6)+3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
-
which satisfies the first relation.
+
&= z^2 + \frac{3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
 +
&= z^2 + \frac{3z^3+18z-18z-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
 +
&= z^2 + \frac{3z(z^2+6)-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt]
 +
&= z^2 + 3z + \frac{-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt]
 +
&= z^2 + 3z + \frac{-5(z^2+6)}{z^2+6}\\[5pt]
 +
&= z^2 + 3z - 5\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
Thus, the equation
+
Also müssen wir die Gleichung
-
<math>z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30=0</math>
+
-
has two pure imaginary roots,
+
-
<math>z=-i\sqrt{6}</math>
+
-
and
+
-
<math>z=i\sqrt{6}</math>. Note that it is completely normal to obtain two imaginary roots.
+
-
The polynomial equation has real coefficients and must therefore have complex conjugate roots.
+
-
Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0 </math>}}
-
<math>z=\pm i\sqrt{6}</math>, the factor theorem gives that the equation contains the factor
+
 +
lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung
-
<math>\left( z-i\sqrt{6} \right)\left( z+i\sqrt{6} \right)=z^{2}+6</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
 +
\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,.
 +
\end{align}</math>}}
 +
Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
-
i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,
+
Die Gleichung hat also die Lösungen
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30=\left( z^{2}+Az+B \right)\left( z^{2}+6 \right)</math>,
+
-
 
+
-
where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor
+
-
<math>z^{2}+Az+B</math>.
+
-
 
+
-
We determine the factor
+
-
<math>z^{2}+Az+B</math>
+
-
by means of a polynomial division (divide both sides by
+
-
<math>z^{2}+6</math>):
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& z^{2}+Az+B=\frac{z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
+
-
& =\frac{z^{4}+6z^{2}-6z^{2}+3z^{3}+z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
+
-
& =\frac{z^{2}\left( z^{2}+6 \right)+3z^{3}-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
+
-
& =z^{2}+\frac{3z^{3}-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
+
-
& =z^{2}+\frac{3z^{3}+18z-18z-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
+
-
& =z^{2}+\frac{3z\left( z^{2}+6 \right)-5z^{2}-30}{z^{2}+6} \\
+
-
& =z^{2}+3z+\frac{-5z^{2}-30}{z^{2}+6} \\
+
-
& =z^{2}+3z+\frac{-5\left( z^{2}+6 \right)}{z^{2}+6} \\
+
-
& =z^{2}+3z-5 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z^{2}+3z-5=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
We complete the square
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \left( z+\frac{3}{2} \right)^{2}-\left( \frac{3}{2} \right)^{2}-5=0 \\
+
-
& \left( z+\frac{3}{2} \right)^{2}=\frac{29}{4} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
which gives that
+
-
<math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
+
-
 
+
-
The answer is that the equation has the roots
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=-i\sqrt{6},\ z=i\sqrt{6},\ z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2},\ z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}</math>
+

Aktuelle Version

Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.

Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie z=ia schreiben, wobei a eine reelle Konstante ist. Substituieren wir z=ia im Polynom, erhalten wir

(ia)4+3(ia)3+(ia)2+18(ia)−30=0

also

a4−3a3i−a2+18ai−30=0

Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir

(a4−a2−30)+a(−3a2+18)i=0,

also

a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0. 

Die zweite Gleichung ergibt a=0 oder a=6 , aber nur a=6  erfüllt auch die erste Gleichung.

Daher hat die Gleichung z4+3z3+z2+18z−30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln z=−i6  und z=i6 . Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.

Da die Gleichung die zwei Wurzeln z=i6  hat, enthält das Polynom den Faktor

(z−i6)(z+i6)=z2+6 

und daher ist

z4+3z3+z2+18z−30=(z2+Az+B)(z2+6)

wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von z2+Az+B sind.

Wir bestimmen den Faktor z2+Az+B durch Polynomdivision

z2+Az+B=z2+6z4+3z3+z2+18z−30=z2+6z4+6z2−6z2+3z3+z2+18z−30=z2+6z2(z2+6)+3z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3+18z−18z−5z2+18z−30=z2+z2+63z(z2+6)−5z2−30=z2+3z+z2+6−5z2−30=z2+3z+z2+6−5(z2+6)=z2+3z−5.

Also müssen wir die Gleichung

z2+3z−5=0

lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung

z+232−232−5z+232=0=429

Dies ergibt also z=−23229 .

Die Gleichung hat also die Lösungen

z=−i6 , z=i6 , z=−23−229 , z=−23+229. 
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