Lösung 3.4:6 - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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			Lösung 3.4:6
			
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 Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.  Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
  
- Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wo <math>a</math> eine reelle Konstante ist Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir + Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist. Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
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 Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir  Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}</math>}}
  
- und also, + also
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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 \end{align}\right.</math>}}  \end{align}\right.</math>}}
  
- Die zweite Gleichung gibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung. + Die zweite Gleichung ergibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.
  
- Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln  <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies ist ganz erwartet, nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf. + Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln  <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
  
- Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor + Da die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math> hat, enthält das Polynom den Faktor
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6 </math>}}
  
 und daher ist  und daher ist
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 {{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
  
- Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind. + wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.
  
- Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision, + Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 Also müssen wir die Gleichung  Also müssen wir die Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0 </math>}}
  
- lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung, + lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]  \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
- \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,, + \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,. 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
 Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.  Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
  
- Die Gleichung hat also die Wurzeln + Die Gleichung hat also die Lösungen
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
Aktuelle Version
Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie z=ia schreiben, wobei a eine reelle Konstante ist. Substituieren wir z=ia im Polynom, erhalten wir





(ia)4+3(ia)3+(ia)2+18(ia)−30=0


also





a4−3a3i−a2+18ai−30=0


Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir





(a4−a2−30)+a(−3a2+18)i=0,


also





a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0.  

Die zweite Gleichung ergibt a=0 oder a=6 , aber nur a=6  erfüllt auch die erste Gleichung.
Daher hat die Gleichung z4+3z3+z2+18z−30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln  z=−i6  und z=i6 . Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
Da die Gleichung die zwei Wurzeln z=i6  hat, enthält das Polynom den Faktor





(z−i6)(z+i6)=z2+6 


und daher ist





z4+3z3+z2+18z−30=(z2+Az+B)(z2+6)


wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von z2+Az+B sind.
Wir bestimmen den Faktor z2+Az+B durch Polynomdivision





z2+Az+B=z2+6z4+3z3+z2+18z−30=z2+6z4+6z2−6z2+3z3+z2+18z−30=z2+6z2(z2+6)+3z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3+18z−18z−5z2+18z−30=z2+z2+63z(z2+6)−5z2−30=z2+3z+z2+6−5z2−30=z2+3z+z2+6−5(z2+6)=z2+3z−5. 

Also müssen wir die Gleichung





z2+3z−5=0


lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung





z+232−232−5z+232=0=429 

Dies ergibt also z=−23229 .
Die Gleichung hat also die Lösungen





z=−i6 , z=i6 , z=−23−229 , z=−23+229. 




Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.4:6“
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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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 Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.  Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
  
- Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wo <math>a</math> eine reelle Konstante ist Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir + Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist. Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
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 Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir  Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}</math>}}
  
- und also, + also
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 20:
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 \end{align}\right.</math>}}  \end{align}\right.</math>}}
  
- Die zweite Gleichung gibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung. + Die zweite Gleichung ergibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.
  
- Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln  <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies ist ganz erwartet, nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf. + Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln  <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
  
- Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor + Da die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math> hat, enthält das Polynom den Faktor
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6 </math>}}
  
 und daher ist  und daher ist
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 {{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
  
- Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind. + wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.
  
- Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision, + Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 51:
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 Also müssen wir die Gleichung  Also müssen wir die Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0 </math>}}
  
- lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung, + lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]  \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
- \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,, + \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,. 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
 Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.  Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
  
- Die Gleichung hat also die Wurzeln + Die Gleichung hat also die Lösungen
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
Aktuelle Version
Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie z=ia schreiben, wobei a eine reelle Konstante ist. Substituieren wir z=ia im Polynom, erhalten wir





(ia)4+3(ia)3+(ia)2+18(ia)−30=0


also





a4−3a3i−a2+18ai−30=0


Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir





(a4−a2−30)+a(−3a2+18)i=0,


also





a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0.  

Die zweite Gleichung ergibt a=0 oder a=6 , aber nur a=6  erfüllt auch die erste Gleichung.
Daher hat die Gleichung z4+3z3+z2+18z−30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln  z=−i6  und z=i6 . Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
Da die Gleichung die zwei Wurzeln z=i6  hat, enthält das Polynom den Faktor





(z−i6)(z+i6)=z2+6 


und daher ist





z4+3z3+z2+18z−30=(z2+Az+B)(z2+6)


wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von z2+Az+B sind.
Wir bestimmen den Faktor z2+Az+B durch Polynomdivision





z2+Az+B=z2+6z4+3z3+z2+18z−30=z2+6z4+6z2−6z2+3z3+z2+18z−30=z2+6z2(z2+6)+3z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3+18z−18z−5z2+18z−30=z2+z2+63z(z2+6)−5z2−30=z2+3z+z2+6−5z2−30=z2+3z+z2+6−5(z2+6)=z2+3z−5. 

Also müssen wir die Gleichung





z2+3z−5=0


lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung





z+232−232−5z+232=0=429 

Dies ergibt also z=−23229 .
Die Gleichung hat also die Lösungen





z=−i6 , z=i6 , z=−23−229 , z=−23+229. 




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                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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			Lösung 3.4:6
			
			  Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
			  (Unterschied zwischen Versionen)
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 Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.  Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
  
- Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wo <math>a</math> eine reelle Konstante ist Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir + Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist. Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
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 Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir  Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}</math>}}
  
- und also, + also
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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 \end{align}\right.</math>}}  \end{align}\right.</math>}}
  
- Die zweite Gleichung gibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung. + Die zweite Gleichung ergibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.
  
- Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln  <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies ist ganz erwartet, nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf. + Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln  <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
  
- Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor + Da die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math> hat, enthält das Polynom den Faktor
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6 </math>}}
  
 und daher ist  und daher ist
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 {{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
  
- Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind. + wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.
  
- Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision, + Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 Also müssen wir die Gleichung  Also müssen wir die Gleichung
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0 </math>}}
  
- lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung, + lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]  \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
- \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,, + \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,. 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
 Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.  Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
  
- Die Gleichung hat also die Wurzeln + Die Gleichung hat also die Lösungen
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
Aktuelle Version
Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie z=ia schreiben, wobei a eine reelle Konstante ist. Substituieren wir z=ia im Polynom, erhalten wir





(ia)4+3(ia)3+(ia)2+18(ia)−30=0


also





a4−3a3i−a2+18ai−30=0


Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir





(a4−a2−30)+a(−3a2+18)i=0,


also





a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0.  

Die zweite Gleichung ergibt a=0 oder a=6 , aber nur a=6  erfüllt auch die erste Gleichung.
Daher hat die Gleichung z4+3z3+z2+18z−30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln  z=−i6  und z=i6 . Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
Da die Gleichung die zwei Wurzeln z=i6  hat, enthält das Polynom den Faktor





(z−i6)(z+i6)=z2+6 


und daher ist





z4+3z3+z2+18z−30=(z2+Az+B)(z2+6)


wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von z2+Az+B sind.
Wir bestimmen den Faktor z2+Az+B durch Polynomdivision





z2+Az+B=z2+6z4+3z3+z2+18z−30=z2+6z4+6z2−6z2+3z3+z2+18z−30=z2+6z2(z2+6)+3z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3+18z−18z−5z2+18z−30=z2+z2+63z(z2+6)−5z2−30=z2+3z+z2+6−5z2−30=z2+3z+z2+6−5(z2+6)=z2+3z−5. 

Also müssen wir die Gleichung





z2+3z−5=0


lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung





z+232−232−5z+232=0=429 

Dies ergibt also z=−23229 .
Die Gleichung hat also die Lösungen





z=−i6 , z=i6 , z=−23−229 , z=−23+229. 




Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.4:6“
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 Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
-Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wo <math>a</math> eine reelle Konstante ist Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir
+Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist. Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir
 {{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
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 Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
-{{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}</math>}}
-und also,
+also
 {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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 \end{align}\right.</math>}}
-Die zweite Gleichung gibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.
+Die zweite Gleichung ergibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.
-Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln  <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies ist ganz erwartet, nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
+Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln  <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
-Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor
+Da die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math> hat, enthält das Polynom den Faktor
-{{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6 </math>}}
 und daher ist
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 {{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
-Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.
+wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.
-Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision,
+Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 Also müssen wir die Gleichung
-{{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0 </math>}}
-lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung,
+lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
-\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,,
+\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,.
 \end{align}</math>}}
 Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
-Die Gleichung hat also die Wurzeln
+Die Gleichung hat also die Lösungen
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
 (ia)4+3(ia)3+(ia)2+18(ia)−30=0
 a4−3a3i−a2+18ai−30=0
 (a4−a2−30)+a(−3a2+18)i=0,
 a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0.
 (z−i6)(z+i6)=z2+6
 z4+3z3+z2+18z−30=(z2+Az+B)(z2+6)
 z2+Az+B=z2+6z4+3z3+z2+18z−30=z2+6z4+6z2−6z2+3z3+z2+18z−30=z2+6z2(z2+6)+3z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3+18z−18z−5z2+18z−30=z2+z2+63z(z2+6)−5z2−30=z2+3z+z2+6−5z2−30=z2+3z+z2+6−5(z2+6)=z2+3z−5.
 z2+3z−5=0
 z+232−232−5z+232=0=429
 z=−i6 , z=i6 , z=−23−229 , z=−23+229.