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Lösung 1.1:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
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Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,
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Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> an der Stelle <math>x=x_0</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{}</math>|(2)}}
Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
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Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
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Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',
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Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m''.
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Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math> Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert
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Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math>. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
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Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->
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Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math>-
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und <math>y_0</math>-Terme,
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und <math>y_0</math>-Terme.
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{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>|(3')}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}</math>|(3')}}
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Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>,
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Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
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y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}
+
y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>,
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Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
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Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
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Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert,
+
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert
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{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und
Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und

Aktuelle Version

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

y0=−x20. (1)

Schreiben wir die Tangente als y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung y=−2x an der Stelle x=x0.

k=−2x0 (2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m. (3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m. (4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Da wir x0 und y0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m.

Aus der Gleichung (2) folgt, dass k=−2x0. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

\displaystyle 1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}

Jetzt haben wir k und m in Termen von \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur \displaystyle x_0- und \displaystyle y_0-Terme.

\displaystyle y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{} (3')

Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0.

\displaystyle \left\{\begin{align}

y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt] y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{} \end{align}\right.


Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x_0.

\displaystyle -x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,

also

\displaystyle x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert

\displaystyle y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}

Also erhalten wir die Punkte \displaystyle (1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}) und \displaystyle (1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,.

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