Processing Math: 50%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 1.1:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (10:59, 9. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 3: Zeile 3:
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
-
Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> im Punkt <math>x=x_0</math>.
+
Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> an der Stelle <math>x=x_0</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{}</math>|(2)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{}</math>|(2)}}
Zeile 35: Zeile 35:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.
+
 
 +
Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
Zeile 45: Zeile 46:
Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert

Aktuelle Version

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

y0=−x20. (1)

Schreiben wir die Tangente als y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung y=−2x an der Stelle x=x0.

k=−2x0 (2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m. (3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m. (4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Da wir x0 und y0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m.

Aus der Gleichung (2) folgt, dass k=−2x0. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

\displaystyle 1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}

Jetzt haben wir k und m in Termen von \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur \displaystyle x_0- und \displaystyle y_0-Terme.

\displaystyle y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{} (3')

Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0.

\displaystyle \left\{\begin{align}

y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt] y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{} \end{align}\right.


Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x_0.

\displaystyle -x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,

also

\displaystyle x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert

\displaystyle y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}

Also erhalten wir die Punkte \displaystyle (1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}) und \displaystyle (1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,.

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.1:5“