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Lösung 1.3:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Da die Funktion für alle ''x'' definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
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und wir erhalten die Gleichung
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für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.
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Die zweite Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
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und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.
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Insbesondere gilt
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
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also hat die Funktion an der Stelle <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.

Aktuelle Version

Da die Funktion für alle x definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

f(x)=3e3x+5

und wir erhalten die Gleichung

3e3x=5

für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung

x=31ln35.

Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in x=31ln35.

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

f(x)=3(3)e3x=9e3x

und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Insbesondere gilt

f31ln350 

also hat die Funktion an der Stelle x=31ln35 ein lokales Minimum.