Processing Math: Done
Lösung 1.3:3b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
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- | < | + | und wir erhalten die Gleichung |
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+ | {{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}} | ||
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+ | für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung | ||
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+ | {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}} | ||
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+ | Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math> | ||
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+ | Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen. | ||
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+ | Die zweite Ableitung ist | ||
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+ | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}} | ||
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+ | und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist. | ||
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+ | Insbesondere gilt | ||
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+ | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}} | ||
+ | also hat die Funktion an der Stelle <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum. |
Aktuelle Version
Da die Funktion für alle x definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
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und wir erhalten die Gleichung
für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung
Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.
Die zweite Ableitung ist
![]() ![]() ![]() |
und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.
Insbesondere gilt
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
also hat die Funktion an der Stelle