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Lösung 1.3:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
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Da die Funktion für alle ''x'' definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
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Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.
Die zweite Ableitung ist
Die zweite Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
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und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.
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und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.
Insbesondere gilt
Insbesondere gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
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also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.
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also hat die Funktion an der Stelle <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.

Aktuelle Version

Da die Funktion für alle x definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

f(x)=−3e−3x+5

und wir erhalten die Gleichung

3e−3x=5

für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung

x=−31ln35.

Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in x=−31ln35.

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

f(x)=−3(−3)e−3x=9e−3x

und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Insbesondere gilt

f−31ln350 

also hat die Funktion an der Stelle x=−31ln35 ein lokales Minimum.

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