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Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (17:53, 9. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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Zeile 1: Zeile 1:
-
The only points which can possibly be local extreme points of the function are one of the following:
+
Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
-
1. Critical points, i.e. where
+
# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-
<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
+
# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
 +
# Randstellen.
-
2. Points where the function is not differentiable;
+
Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.
-
3. Endpoints of the interval of definition.
+
Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist
-
What determines the function's region of definition is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}}
-
<math>\ln x</math>, which is defined for
+
-
<math>x>0</math>, and this region does not have any endpoints (
+
-
<math>x=0</math>
+
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does not satisfy
+
-
<math>x>0</math>
+
-
), so item 3. above does not give rise to any imaginable extreme points. Furthermore, the function is differentiable everywhere (where it is defined), because it consists of
+
-
<math>x</math>
+
-
and
+
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<math>\ln x</math>
+
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which are differentiable functions; so, item 2. above does not contribute any extreme points either.
+
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All the remains are possibly critical points. We differentiate the function
+
Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>{f}'\left( x \right)=1\centerdot \ln x+x\centerdot \frac{1}{x}-0=\ln x+1</math>
+
Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}
-
and see that the derivative is zero when
+
Also hat die Funktion an der Stelle <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.
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+
-
 
+
-
<math>\ln x=-1\quad \Leftrightarrow \quad x=e^{-1}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
 
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In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative,
+
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<math>{f}''\left( x \right)={1}/{x}\;</math>
+
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which gives that
+
-
 
+
-
 
+
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<math>{f}''\left( e^{-1} \right)=\frac{1}{e^{-1}}=e>0</math>
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-
 
+
-
 
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which implies that
+
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<math>x=e^{-1}</math>
+
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is a local minimum.
+

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit f(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass lnx nur definiert ist, wenn x0. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (x=0 erfüllt nicht x0), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da x und lnx überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.

Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist

f(x)=1lnx+xx1−0=lnx+1.

Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn

lnx=−1x=e−1.

Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. f(x)=1x, also ist

fe−1=1e−1=e0 

Also hat die Funktion an der Stelle x=e−1 ein lokales Minimum.

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