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Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
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# Endpunkte.
+
# Randstellen.
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Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.
+
Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.
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Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
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Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}}
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Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn
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Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
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Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, und also ist
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Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}
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Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minima.
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Also hat die Funktion an der Stelle <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit f(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass lnx nur definiert ist, wenn x0. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (x=0 erfüllt nicht x0), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da x und lnx überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.

Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist

f(x)=1lnx+xx1−0=lnx+1.

Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn

lnx=−1x=e−1.

Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. f(x)=1x, also ist

fe−1=1e−1=e0 

Also hat die Funktion an der Stelle x=e−1 ein lokales Minimum.

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