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Lösung 1.3:3e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Zeile 1: Zeile 1:
-
As always, a function can only have local extreme points at one of the following types of points:
+
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
-
1. Critical points, i.e. where
+
# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-
<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
+
# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
 +
# Endpunkte.
-
2. Points where the function is not differentiable;
+
Wir untersuchen die einzelnen Fälle.
-
3. Endpoints of the interval of definition.
+
<ol>
 +
<li>Wir erhalten die stationären Punkte, indem wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen.
-
We investigate these three cases.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]
 +
&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]
 +
&= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{}
 +
\end{align}</math>}}
-
1. We obtain the critical points by setting the derivative equal to zero:
+
Die Ableitung ist null, wenn <math>x^2+x-2=0</math> null ist, da <math>e^x</math> immer größer als null ist. Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,\\[5pt]
 +
\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\\[5pt]
 +
x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>
-
& {f}'\left( x \right)=\left( x^{2}-x-1 \right)^{\prime }e^{x}+\left( x^{2}-x-1 \right)\left( e^{x} \right)^{\prime } \\
+
-
& =\left( 2x-1 \right)e^{x}+\left( x^{2}-x-1 \right)e^{x} \\
+
-
& =\left( x^{2}+x-2 \right)e^{x} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
<li>Die Funktion besteht aus einem Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>
-
This expression for the derivative can only be zero when
+
<li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.</li>
-
<math>x^{2}+x-2=0</math>, because
+
</ol>
-
<math>e^{x}</math>
+
-
differs from zero for all values of
+
-
<math>x</math>.
+
-
We solve the second-degree equation by completing the square:
+
-
<math>\begin{align}
+
Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben.
-
& \left( x+\frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}-2=0 \\
+
-
& =\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{9}{4} \\
+
-
& =x+\frac{1}{2}=\pm \frac{3}{2} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.
-
i.e.
+
Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.
-
<math>x=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2</math>
+
-
and
+
-
<math>x=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1</math>.Both of these points lie within the region of definition,
+
-
<math>-3\le x\le 3</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,</math>,}}
-
2. The function is a polynomial
+
da <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math> hat.
-
<math>x^{2}-x-1</math>
+
-
multiplied by the exponential function
+
-
<math>e^{x}</math>, and, because both of these functions are differentiable, the product is also a differentiable function, which shows that the function is differentiable everywhere.
+
-
3. The function's region of definition is
+
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
<math>-3\le x\le 3</math>
+
|-
-
and the endpoints
+
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
-
<math>x=-3\text{ }</math>
+
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-3</math>
-
and
+
|style="background:#efefef;"|
-
<math>x=3\text{ }</math>
+
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-2</math>
-
are therefore possible local extreme points.
+
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>3</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>x+2</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>x-1</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>e^x</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|-
 +
|}
 +
 +
 +
Das Vorzeichen der Ableitung ist das Produkt der Faktoren oben.
-
All in all, there are four points
 
-
<math>x=-3,\quad x=-2,\quad x=1</math>
 
-
and
 
-
<math>x=3</math>
 
-
where the function possibly has local extreme points.
 
-
Now, we will write down a table of the sign of the derivative, in order to investigate the function has local extreme points.
+
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-3</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-2</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>3</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>f^{\,\prime}(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| &nbsp;
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| &nbsp;
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>f(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>11e^{-3}</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>5e^{-2}</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-e</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>5e^3</math>
 +
|-
 +
|}
-
We can factorize the derivative somewhat,
 
-
<math>{f}'\left( x \right)=\left( x^{2}+x-2 \right)e^{x}=\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)e^{x}</math>,
+
Die Funktion hat also lokale Minima an den Stellen <math>x=-3</math> und <math>x=1</math> und lokale Maxima an den Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.
-
since
+
-
<math>x^{2}+x-2</math>
+
-
has zeros at
+
-
<math>x=-2</math>
+
-
and
+
-
<math>x=1</math>. Each individual factor in the derivative has a sign that is given in the table:
+
-
 
+
-
TABELL
+
-
+
-
The sign of the derivative is the product of these signs and from the derivative's sign we decide which local extreme points we have:
+
-
 
+
-
TABELL
+
-
 
+
-
 
+
-
The function has local minimum points at
+
-
<math>x=-3</math>
+
-
and
+
-
<math>x=1</math>, and local maximum points
+
-
<math>x=-2</math>
+
-
and
+
-
<math>x=3</math>.
+

Aktuelle Version

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
  2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen die einzelnen Fälle.

  1. Wir erhalten die stationären Punkte, indem wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen.
    f(x)=(x2−x−1)ex+(x2−x−1)ex=(2x−1)ex+(x2−x−1)ex=(x2+x−2)ex

    Die Ableitung ist null, wenn x2+x−2=0 null ist, da ex immer größer als null ist. Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

    x+212−212−2x+212x+21=0=49=23
    Also ist x=−21−23=−2 und x=−21+23=1. Beide Punkte liegen im Intervall −3x3.
  2. Die Funktion besteht aus einem Polynom x2−x−1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion ex. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
  3. Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.

Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten x=−3, x=−2, x=1 und x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.

Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.

Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

f(x)=(x2+x−2)ex=(x+2)(x−1)ex,

da x2+x−2 die Wurzeln x=−2 und x=1 hat.


x −3 −2 1 3
x+2 − − 0 + + + +
x−1 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle e^x \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +


Das Vorzeichen der Ableitung ist das Produkt der Faktoren oben.


\displaystyle x \displaystyle -3 \displaystyle -2 \displaystyle 1 \displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x)   \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +  
\displaystyle f(x) \displaystyle 11e^{-3} \displaystyle \nearrow \displaystyle 5e^{-2} \displaystyle \searrow \displaystyle -e \displaystyle \nearrow \displaystyle 5e^3


Die Funktion hat also lokale Minima an den Stellen \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1 und lokale Maxima an den Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=3.

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