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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Der Kanal kann am meisten Wasser enthalten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist.
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		+	Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.
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		+	Die Fläche ist
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	A(\alpha) &= 10\cdot 10\cos\alpha + 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 10\cos\alpha \cdot 10\sin\alpha\\[5pt]
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		+	Begrenzen wir den Winkel so, dass er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir die folgende Optimierungsaufgabe:
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		+	::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn <math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.
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		+	Die Funktion A ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\ </math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum in einem stationären Punkt an.
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		+	Die Ableitung ist
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	A'(\alpha) &= 100\cdot (-\sin\alpha)\cdot (1+\sin\alpha) + 100\cdot\cos\alpha \cdot \cos\alpha\\[5pt]
		+	&= -100\sin\alpha - 100\sin^2\!\alpha + 100\cos^2\!\alpha\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
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		+	Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0\,</math>. Das ergibt die Gleichung
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0\,.</math>}}
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		+	Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben, ersetzen wir <math>\cos^2\!\alpha</math> mit <math>1-\sin^2\!\alpha</math> und erhalten eine Gleichung mit nur <math>\sin\alpha\,</math>-Termen.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - (1-\sin^2\!\alpha) &= 0\\[5pt]
		+	2\sin^2\!\alpha + \sin\alpha - 1 &= 0\,\textrm{}
		+	\end{align}</math>}}
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		+	Das ist eine quadratische Gleichung für <math>\sin\alpha</math>. Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	2\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^{2} - 2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2 - 1 &= 0\\[5pt]
		+	\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^2 &= \frac{9}{16}
		+	\end{align}</math>.}}
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		+	Wir erhalten weiter <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, also <math>\sin \alpha = -1</math> oder <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.
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		+	Der Fall, dass <math>\sin \alpha =-1</math>, ist nie erfüllt für <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> und <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gibt <math>\alpha = \pi/6</math>. Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein stationärer Punkt.
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		+	Wir wissen von der Zeichnung her, dass die Fläche lokale Minima an den Stellen <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat und die kritische Stelle <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss die Funktion an der kritischen Stelle ein Maximum haben, wir zeigen dies mit der zweiten Ableitung.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	A''(\alpha) &= -100\cos\alpha - 100\cdot 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 100\cdot 2\cos\alpha \cdot (-\sin\alpha)\\[5pt]
		+	&= -100\cos\alpha (1+4\sin\alpha)\,.
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Dieser Ausdruck ist negativ für <math>\alpha = \pi/6</math>.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	A''(\pi/6) &= -100\cos\frac{\pi}{6}\cdot \Bigl(1+4\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\\[5pt]
		+	&= -100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \Bigl( 1+4\cdot \frac{1}{2} \Bigr)<0\,\textrm{}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Also hat die Funktion an der Stelle <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales Maximum, da es das einzige lokale Maximum ist.

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Aktuelle Version

Der Kanal kann am meisten Wasser enthalten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist.

Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.

Die Fläche ist

A()=1010cos+22110cos10sin=100cos(1+sin).

Begrenzen wir den Winkel so, dass er zwischen 0 und 2 liegt, erhalten wir die folgende Optimierungsaufgabe:

Maximiere A()=100cos(1+sin) wenn 02.

Die Funktion A ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn =0 oder wenn =2 , also nimmt die Funktion ihr Maximum in einem stationären Punkt an.

Die Ableitung ist

A()=100(−sin)(1+sin)+100coscos=−100sin−100sin2+100cos2.

Für stationäre Punkte ist A()=0. Das ergibt die Gleichung

sin+sin2−cos2=0

Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben, ersetzen wir cos2 mit 1−sin2 und erhalten eine Gleichung mit nur sin-Termen.

sin+sin2−(1−sin2)2sin2+sin−1=0=0

Das ist eine quadratische Gleichung für sin. Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

2sin+412−2412−1sin+412=0=916

Wir erhalten weiter sin=−4143, also sin=−1 oder sin=21.

Der Fall, dass sin=−1, ist nie erfüllt für 02 und sin=21 gibt =6. Also ist =6 ein stationärer Punkt.

Wir wissen von der Zeichnung her, dass die Fläche lokale Minima an den Stellen =0 und =2 hat und die kritische Stelle =6. Daher muss die Funktion an der kritischen Stelle ein Maximum haben, wir zeigen dies mit der zweiten Ableitung.

A()=−100cos−1002sincos+1002cos(−sin)=−100cos(1+4sin)

Dieser Ausdruck ist negativ für =6.

A(6)=−100cos61+4sin6=−100231+4210

Also hat die Funktion an der Stelle =6 ein globales Maximum, da es das einzige lokale Maximum ist.