Processing Math: 61%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösung 1.3:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (18:10, 9. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 16 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.
-
<center> [[Bild:1_3_7-1(6).gif]] </center>
+
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
-
<center> [[Bild:1_3_7-2(6).gif]] </center>
+
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
-
<center> [[Bild:1_3_7-3(6).gif]] </center>
+
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
-
<center> [[Bild:1_3_7-4(6).gif]] </center>
+
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
-
<center> [[Bild:1_3_7-5(6).gif]] </center>
+
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
-
<center> [[Bild:1_3_7-6(6).gif]] </center>
+
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
[[Bild:1_3_7_1_1.gif|center]]
+
[[Image:1_3_7_1_1_de.gif|center]]
-
[[Bild:1_3_7_1_2.gif|center]]
+
Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.
 +
 +
[[Image:1_3_7_1_2_de.gif|center]]
-
[[Bild:1_3_7_1_3.gif|center]]
+
Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels
-
[[Bild:1_3_7_1_4.gif|center]]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
V &= \frac{1}{3}\text{(Fläche des Kreises)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{3}\pi r^{2}h\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.
 +
 
 +
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments
 +
<math>(2\pi-\alpha)R</math>, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.
 +
 
 +
[[Image:1_3_7_1_3_de.gif|center]]
 +
 
 +
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
 +
<math>2\pi r</math>, also haben wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}}
 +
 
 +
Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels
 +
<math>\alpha</math> und des ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt.
 +
 
 +
Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.
 +
 
 +
[[Image:1_3_7_1_4.gif||center]]
 +
 
 +
Also haben wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
h &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\,R\Bigr)^2}\\[5pt]
 +
&= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2R^2}\\[5pt]
 +
&= R\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von
 +
<math>\alpha</math> und <math>R</math> geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also
 +
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}R\Bigr)^2 R\sqrt{1-\Bigl( \frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{3}\pi R^3\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2 \sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
Unser Problem ist jetzt:
 +
 
 +
::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.
 +
 
 +
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel
 +
<math>\alpha</math> nur in
 +
<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.
 +
 +
::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ </math> , für <math>0\le x\le 1\,</math>.
 +
 
 +
Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an.
 +
 
 +
Wir leiten die Funktion ab
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,</math>}}
 +
 
 +
und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{}
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
Die Ableitung ist null, wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Randpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Die Stelle <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)
 +
 
 +
Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren
 +
 
 +
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>\sqrt{\tfrac{2}{3}}</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>\sqrt{1-x^2}</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>2-3x^2</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst.
 +
 
 +
 
 +
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>\sqrt{\tfrac{2}{3}}</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>V'(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| &nbsp;
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>V(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|}
 +
 
 +
Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum hat. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht dem Winkel <math>\alpha</math>:
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}

Aktuelle Version

Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.

Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.

Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels

V=31(Fläche des Kreises)(Höhe)=31r2h.

Wir müssen jetzt den Radius r und die Höhe h durch den Winkel ausdrücken, sodass wir das Volumen V als Funktion von schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments (2−)R, wobei R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch 2r, also haben wir

2r=(2−)Rr=22−R.

Jetzt haben wir den neuen Radius r als Funktion des Winkels und des ursprünglichen Radius R ausgedrückt.

Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.

Also haben wir

h=R2−22−R2=R2−22−2R2=R1−22−2.

Jetzt haben wir den Radius r und die Höhe h als Funktionen von und R geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also

V=31r2h=3122−R2R1−22−2=31R322−21−22−2.

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere V()=31R322−21−22−2 , wo 02.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel nur in (2−)2-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable x=(2−)2 maximieren.

Maximiere V(x)=31R3x21−x2   , für 0x1.

Wenn x=0 oder x=1 ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in x=1) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an.

Wir leiten die Funktion ab

V(x)=31R32x1−x2+31R3x2121−x2(−2x)

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.

V(x)=32R3x1−x2−31R3x311−x2=31R3x1−x22(1−x2)−x2=31R3x1−x2(2−3x2)

Die Ableitung ist null, wenn x=0 (dies ist ein Randpunkt) oder wenn 2−3x2=0 ist, also wenn x=23 . (Die Stelle x=−23  liegt außerhalb des Gebietes 0x1.)

Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren

x 0 32  1
x 0 + + + +
1−x2  \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0
\displaystyle 2-3x^2 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle -


und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst.


\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} \displaystyle 1
\displaystyle V'(x) \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -  
\displaystyle V(x) \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 \displaystyle \searrow \displaystyle 0

Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maximum hat. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht dem Winkel \displaystyle \alpha:

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:7“