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Lösung 1.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
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\text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt]
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&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
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Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
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{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
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und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
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{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
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Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
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Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
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Die Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
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Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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& 2\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r = \frac{2V}{r^2}\\[5pt]
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&\quad\Leftrightarrow \quad r^3=\frac{V}{\pi}\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Die zweite Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
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und hat den Wert
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
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an der stationären Stelle.
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Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.
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Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
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Also ist die Fläche minimal, wenn
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
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h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist

VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh.

Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.

Wir schreiben h als Funktion des Volumens

h=Vr2

und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.

A=r2+2rVr2=r2+r2V

Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche A(r)=r2+r2V, wenn r0.

Die Funktion A(r) ist für alle r0 differenzierbar und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (da r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.

Die Ableitung ist

A(r)=2r−r22V

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V.

Die zweite Ableitung ist

A(r)=2+r34V

und hat den Wert

A3V=2+4VV=60 

an der stationären Stelle.

Also ist r=3V  lokale Minimalstelle.

Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn r0 oder wenn r. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen r0 und r, also ist r=3V  eine globale Minimalstelle.

Also ist die Fläche minimal, wenn

rh=3Vund=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V. 
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