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Lösung 1.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
If we call the radius of the metal can
+
Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
-
<math>r</math>
+
-
and its height
+
-
<math>h</math>, then we can determine the can's volume and area by using the figures below.
+
-
 
+
-
Volume = (area of the base). (height)
+
-
 
+
-
<math>=\pi r^{2}h</math>
+
-
 
+
-
Area= (area of the base)+(area of the cylindrical surface)
+
-
 
+
-
<math>=\pi r^{2}+2\pi h</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
 +
&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]
 +
\text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt]
 +
&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
 +
Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
-
The problem can then be formulated as: minimise the can's area,
+
Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
-
<math>A=\pi r^{2}+2\pi h</math>, whilst at the same time keeping the volume,
+
-
<math>V=\pi r^{2}h</math>, constant.
+
-
 
+
-
From the formula for the volume, we can make
+
-
<math>h</math>
+
-
the subject,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>h=\frac{V}{\pi r^{2}}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and express the area solely in terms of the radius,
+
-
<math>r</math>:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>A=\pi r^{2}+2\pi r\bullet \frac{V}{\pi r^{2}}=\pi r^{2}+\frac{2V}{r}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The minimisation problem is then:
+
-
 
+
-
to minimise the area
+
-
<math>A\left( r \right)=\pi r^{2}+\frac{2V}{r}</math>
+
-
A(r)=..., when
+
-
<math>r>0</math>.
+
-
 
+
-
The area function
+
-
<math>A\left( r \right)</math>
+
-
is differentiable for all
+
-
<math>r>0</math>
+
-
and the region of definition
+
-
<math>r>0</math>
+
-
has no endpoints
+
-
(
+
-
<math>r=0\text{ }</math>
+
-
does not satisfy
+
-
<math>r>0</math>
+
-
), so the function can only assume extreme values at critical points.
+
-
The derivative is given by
+
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
 +
und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
-
<math>{A}'\left( r \right)=2\pi r-\frac{2V}{r^{2}}</math>,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
-
and if we set the derivative equal to zero, so as to obtain the critical points, we get
+
Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
-
<math>\begin{align}
+
Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
-
& 2\pi r-\frac{2V}{r^{2}}=0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r=\frac{2V}{r^{2}} \\
+
-
& \Leftrightarrow \quad r^{3}=\frac{V}{\pi }\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi }} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Die Ableitung ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
-
For this value of
+
Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
-
<math>r</math>, the second derivative,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
& 2\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r = \frac{2V}{r^2}\\[5pt]
 +
&\quad\Leftrightarrow \quad r^3=\frac{V}{\pi}\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>{A}''\left( r \right)=2\pi +\frac{4V}{r^{3}}</math>,
+
Die zweite Ableitung ist
-
has the value
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
-
<math>{A}''\left( \sqrt[3]{\frac{V}{\pi }} \right)=2\pi +\frac{4V}{\frac{V}{\pi }}=6\pi >0</math>,
+
und hat den Wert
-
which shows that
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
-
<math>r=\sqrt[3]{{V}/{\pi }\;}</math>
+
-
is a local minimum.
+
-
Because the region of definition,
+
an der stationären Stelle.
-
<math>r>0</math>, is open (the endpoint
+
-
<math>r=0\text{ }</math>
+
-
is not included) and unlimited, we cannot directly say that the area is least when
+
-
<math>r=\sqrt[3]{{V}/{\pi }\;}</math>; it could be the case that area becomes smaller when
+
-
<math>r\to 0</math>
+
-
or
+
-
<math>r\to \infty </math>. In this case, however, the area increases without bound as
+
-
<math>r\to 0</math>
+
-
or
+
-
<math>r\to \infty </math>, so
+
-
<math>r=\sqrt[3]{{V}/{\pi }\;}</math>
+
-
really is a global minimum.
+
-
The metal can has the least area for a given volume
+
Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.
-
<math>V</math>
+
-
when
+
 +
Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
-
<math>r=\sqrt[3]{{V}/{\pi }\;}</math>, and
+
Also ist die Fläche minimal, wenn
-
<math>h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{V}{\pi }\left( \frac{V}{\pi } \right)^{-{2}/{3}\;}=\left( \frac{V}{\pi } \right)^{1-{2}/{3}\;}=\left( \frac{V}{\pi } \right)^{{1}/{3}\;}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi }}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
 +
h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist

VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh.

Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.

Wir schreiben h als Funktion des Volumens

h=Vr2

und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.

A=r2+2rVr2=r2+r2V

Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche A(r)=r2+r2V, wenn r0.

Die Funktion A(r) ist für alle r0 differenzierbar und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (da r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.

Die Ableitung ist

A(r)=2r−r22V

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V.

Die zweite Ableitung ist

A(r)=2+r34V

und hat den Wert

A3V=2+4VV=60 

an der stationären Stelle.

Also ist r=3V  lokale Minimalstelle.

Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn r0 oder wenn r. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen r0 und r, also ist r=3V  eine globale Minimalstelle.

Also ist die Fläche minimal, wenn

rh=3Vund=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V. 
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