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Lösung 1.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
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\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
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\text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt]
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&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
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Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
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Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
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{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
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und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
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{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
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Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
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Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
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Die Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
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Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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& 2\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r = \frac{2V}{r^2}\\[5pt]
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&\quad\Leftrightarrow \quad r^3=\frac{V}{\pi}\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Die zweite Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
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und hat den Wert
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
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an der stationären Stelle.
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Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.
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Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
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Also ist die Fläche minimal, wenn
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
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h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist

VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh.

Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.

Wir schreiben h als Funktion des Volumens

h=Vr2

und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.

A=r2+2rVr2=r2+r2V

Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche A(r)=r2+r2V, wenn r0.

Die Funktion A(r) ist für alle r0 differenzierbar und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (da r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.

Die Ableitung ist

A(r)=2r−r22V

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V.

Die zweite Ableitung ist

A(r)=2+r34V

und hat den Wert

A3V=2+4VV=60 

an der stationären Stelle.

Also ist \displaystyle r=\sqrt[3]{V/\pi} lokale Minimalstelle.

Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn \displaystyle r\to 0 oder wenn \displaystyle r\to \infty . Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen \displaystyle r\to 0 und \displaystyle r\to \infty , also ist \displaystyle r=\sqrt[3]{V/\pi} eine globale Minimalstelle.

Also ist die Fläche minimal, wenn

\displaystyle \begin{align}

r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt] h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.} \end{align}

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