Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösung 1.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 1.3:6 moved to Lösung 1.3:6: Robot: moved page)
Aktuelle Version (10:35, 16. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
K (Robot: Automated text replacement (-ä +ä))
 
(Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we call the radius of the metal can ''r'' and its height ''h'', then we can determine the can's volume and area by using the figures below,
+
Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{Volume} &= \text{(area of the base)}\cdot\text{(height)}\\[5pt]
+
\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]
&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]
-
\text{Area} &= \text{(area of the base)} + \text{(area of the cylindrical surface)}\\[5pt]
+
\text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt]
&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
Zeile 10:
[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
-
The problem can then be formulated as: minimise the can's area, <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, whilst at the same time keeping the volume, <math>V = \pi r^2h\,</math>, constant.
+
Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
-
From the formula for the volume, we can make ''h'' the subject,
+
Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
-
and express the area solely in terms of the radius, ''r'',
+
und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
-
{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
-
The minimisation problem is then:
+
Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
-
::Minimise the area <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, when <math>r>0\,</math>.
+
Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
-
The area function <math>A(r)</math> is differentiable for all <math>r>0</math> and the region of definition <math>r>0</math> has no endpoints (<math>r=0</math> does not satisfy <math>r>0</math>), so the function can only assume extreme values at critical points.
+
Die Ableitung ist
-
The derivative is given by
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}
+
Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
-
 
+
-
and if we set the derivative equal to zero, so as to obtain the critical points, we get
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
For this value of ''r'', the second derivative,
+
Die zweite Ableitung ist
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}
+
und hat den Wert
-
has the value
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}
+
an der stationären Stelle.
-
which shows that <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> is a local minimum.
+
Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.
-
Because the region of definition, <math>r>0</math>, is open (the endpoint
+
Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
-
<math>r=0\text{ }</math> is not included) and unlimited, we cannot directly say that the area is least when <math>r = \sqrt[3]{V/\pi}\,</math>; it could be the case that area becomes smaller when <math>r\to 0</math> or <math>r\to \infty </math>. In this case, however, the area increases without bound as
+
-
<math>r\to 0</math> or <math>r\to \infty </math>, so <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math>
+
-
really is a global minimum.
+
-
The metal can has the least area for a given volume <math>V</math> when
+
Also ist die Fläche minimal, wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt]
+
r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist

VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh.

Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.

Wir schreiben h als Funktion des Volumens

h=Vr2

und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.

A=r2+2rVr2=r2+r2V

Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche A(r)=r2+r2V, wenn r0.

Die Funktion A(r) ist für alle r0 differenzierbar und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (da r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.

Die Ableitung ist

A(r)=2r−r22V

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V.

Die zweite Ableitung ist

A(r)=2+r34V

und hat den Wert

A3V=2+4VV=60 

an der stationären Stelle.

Also ist r=3V  lokale Minimalstelle.

Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn r0 oder wenn r. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen r0 und r, also ist r=3V  eine globale Minimalstelle.

Also ist die Fläche minimal, wenn

rh=3Vund=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V. 
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:6“