Lösung 1.3:6 - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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			Lösung 1.3:6
			
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				Version vom 12:21, 27. Apr. 2009 (bearbeiten)
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- Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Der Volumen ist + Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 [[Image:1_3_6_1.gif|center]]  [[Image:1_3_6_1.gif|center]]
  
- Das Problem ist also; Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während der Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math>, konstant ist. + Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
  
- Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumen, + Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
  
- und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben, + und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
  
- Unser Problem ist dann + Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
  
- ::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>. + Die Funktion  <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
-   + 
- Die Funktion  <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), und also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten. + 
  
 Die Ableitung ist  Die Ableitung ist
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
  
- Und die Ableitung gleich null ergibt folgende Gleichung + Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 39:
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 Die zweite Ableitung ist  Die zweite Ableitung ist
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
  
 und hat den Wert  und hat den Wert
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
  
- im stationären Punkt. + an der stationären Stelle.
  
- Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima. + Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi}  </math> lokale Minimalstelle.
  
- Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In  unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minima. + Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
  
- Also ist die Fläche minimal wenn + Also ist die Fläche minimal, wenn
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt] + r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
 h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}  h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist





VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh. 


Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.
Wir schreiben h als Funktion des Volumens





h=Vr2


und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.





A=r2+2rVr2=r2+r2V


Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche A(r)=r2+r2V, wenn r0.
Die Funktion  A(r) ist für alle r0 differenzierbar und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (da r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
Die Ableitung ist





A(r)=2r−r22V


Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung





2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V. 

Die zweite Ableitung ist





A(r)=2+r34V


und hat den Wert





A3V=2+4VV=60 


an der stationären Stelle.
Also ist r=3V  lokale Minimalstelle.
Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn r0 oder wenn r. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen r0 und r, also ist r=3V  eine globale Minimalstelle.
Also ist die Fläche minimal, wenn





rh=3Vund=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V.  



Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:6“
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Der Volumen ist + Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 [[Image:1_3_6_1.gif|center]]  [[Image:1_3_6_1.gif|center]]
  
- Das Problem ist also; Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während der Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math>, konstant ist. + Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
  
- Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumen, + Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
  
- und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben, + und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
  
- Unser Problem ist dann + Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
  
- ::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>. + Die Funktion  <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
-   + 
- Die Funktion  <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), und also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten. + 
  
 Die Ableitung ist  Die Ableitung ist
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
  
- Und die Ableitung gleich null ergibt folgende Gleichung + Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 39:
Zeile 37:
 Die zweite Ableitung ist  Die zweite Ableitung ist
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
  
 und hat den Wert  und hat den Wert
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
  
- im stationären Punkt. + an der stationären Stelle.
  
- Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima. + Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi}  </math> lokale Minimalstelle.
  
- Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In  unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minima. + Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
  
- Also ist die Fläche minimal wenn + Also ist die Fläche minimal, wenn
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt] + r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
 h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}  h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist





VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh. 


Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.
Wir schreiben h als Funktion des Volumens





h=Vr2


und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.





A=r2+2rVr2=r2+r2V


Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche A(r)=r2+r2V, wenn r0.
Die Funktion  A(r) ist für alle r0 differenzierbar und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (da r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
Die Ableitung ist





A(r)=2r−r22V


Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung





2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V. 

Die zweite Ableitung ist





A(r)=2+r34V


und hat den Wert





A3V=2+4VV=60 


an der stationären Stelle.
Also ist r=3V  lokale Minimalstelle.
Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn r0 oder wenn r. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen r0 und r, also ist r=3V  eine globale Minimalstelle.
Also ist die Fläche minimal, wenn





rh=3Vund=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V.  



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                        1.2 Ableitungsregeln 
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                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
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                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Der Volumen ist + Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 [[Image:1_3_6_1.gif|center]]  [[Image:1_3_6_1.gif|center]]
  
- Das Problem ist also; Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während der Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math>, konstant ist. + Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
  
- Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumen, + Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
  
- und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben, + und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
  
- Unser Problem ist dann + Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
  
- ::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>. + Die Funktion  <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
-   + 
- Die Funktion  <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), und also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten. + 
  
 Die Ableitung ist  Die Ableitung ist
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
  
- Und die Ableitung gleich null ergibt folgende Gleichung + Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 Die zweite Ableitung ist  Die zweite Ableitung ist
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
  
 und hat den Wert  und hat den Wert
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
  
- im stationären Punkt. + an der stationären Stelle.
  
- Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima. + Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi}  </math> lokale Minimalstelle.
  
- Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In  unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minima. + Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
  
- Also ist die Fläche minimal wenn + Also ist die Fläche minimal, wenn
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt] + r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
 h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}  h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist





VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh. 


Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.
Wir schreiben h als Funktion des Volumens





h=Vr2


und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.





A=r2+2rVr2=r2+r2V


Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche A(r)=r2+r2V, wenn r0.
Die Funktion  A(r) ist für alle r0 differenzierbar und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (da r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
Die Ableitung ist





A(r)=2r−r22V


Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung





2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V. 

Die zweite Ableitung ist





A(r)=2+r34V


und hat den Wert





A3V=2+4VV=60 


an der stationären Stelle.
Also ist r=3V  lokale Minimalstelle.
Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn r0 oder wenn r. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen r0 und r, also ist r=3V  eine globale Minimalstelle.
Also ist die Fläche minimal, wenn





rh=3Vund=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V.  



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-Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Der Volumen ist
+Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 [[Image:1_3_6_1.gif|center]]
-Das Problem ist also; Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während der Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math>, konstant ist.
+Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
-Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumen,
+Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
 {{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
-und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben,
+und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
-{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
-Unser Problem ist dann
+Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
-::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
+Die Funktion  <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
-Die Funktion  <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), und also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.
 Die Ableitung ist
-{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
-Und die Ableitung gleich null ergibt folgende Gleichung
+Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
@@ Zeile 39: / Zeile 37: @@
 Die zweite Ableitung ist
-{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
 und hat den Wert
-{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
-im stationären Punkt.
+an der stationären Stelle.
-Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima.
+Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi}  </math> lokale Minimalstelle.
-Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In  unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minima.
+Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
-Also ist die Fläche minimal wenn
+Also ist die Fläche minimal, wenn
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt]
+r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
 h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 \end{align}</math>}}
 VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh.
 h=Vr2
 A=r2+2rVr2=r2+r2V
 A(r)=2r−r22V
 r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V.
 A(r)=2+r34V
 A3V=2+4VV=60
 rh=3Vund=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V.