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Lösung 1.2:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
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We can see the expression as "ln of something",
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Wir betrachten die Funktion als "den Logarithmus von irgendetwas"
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\ln x}}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\ln x}}\,,</math>}}
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where "something" is <math>\ln x</math>.
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wo das "irgendetwas" <math>\ln x</math> ist.
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Because we have a compound expression, we use the chain rule and obtain, roughly speaking, the outer derivative multiplied by the inner derivative,
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Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,(\ln x)\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,</math>}}
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where the first factor on the right-hand side <math>1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> is the outer derivative of <math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> and the other factor <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'</math> is the inner derivative. Thus, we get
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wo der erste Faktor <math>1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> die äußere Ableitung von <math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,(\ln x)\,}</math> ist und der zweite Faktor <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'</math> die innere Ableitung ist. Wir erhalten also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir betrachten die Funktion als "den Logarithmus von irgendetwas"

ln

wo das "irgendetwas" lnx ist.

Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel

ddxln(lnx)=1lnxlnx 

wo der erste Faktor 1lnx die äußere Ableitung von ln(lnx) ist und der zweite Faktor lnx  die innere Ableitung ist. Wir erhalten also

ddxln(lnx)=1lnxx1=1xlnx.
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