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Lösung 1.2:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (15:09, 1. Okt. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel
Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,(\ln x)\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,</math>}}
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wo der erste Faktor <math>1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> die äußere Ableitung von <math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> ist und der zweite Faktor <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'</math> die innere Ableitung ist. Wir erhalten also
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wo der erste Faktor <math>1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> die äußere Ableitung von <math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,(\ln x)\,}</math> ist und der zweite Faktor <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'</math> die innere Ableitung ist. Wir erhalten also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir betrachten die Funktion als "den Logarithmus von irgendetwas"

ln

wo das "irgendetwas" lnx ist.

Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel

ddxln(lnx)=1lnxlnx 

wo der erste Faktor 1lnx die äußere Ableitung von ln(lnx) ist und der zweite Faktor lnx  die innere Ableitung ist. Wir erhalten also

ddxln(lnx)=1lnxx1=1xlnx.
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