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3.3 Potenzen und Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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* Der Moivrescher Satz
+
* Der Moivresche Satz
* Quadratische Gleichungen
* Quadratische Gleichungen
* Exponentialfunktionen
* Exponentialfunktionen
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Potenzen von komplexen Zahlen mit den Moivrechen Satz lösen.
+
* Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
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* Wurzeln von komplexen Zahlen berechnen indem man die Zahl auf Polarform bringt.
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* Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
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* Komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch Ergänzen.
+
* Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
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Komplexe quadratische Gleichungen lösen.
+
* Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.
}}
}}
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== Moivrescher Satz==
 
-
Die Rechenregeln <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> and <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ </math> bedeuten dass
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\times z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\times z\,| = |\,z\,|\times|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}</math>}}
+
== A - Moivrescher Satz==
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Die Rechenregeln <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> und <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ </math> bedeuten, dass
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Für eine beliebige komplexe Zahl <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math>, gilt es deshalb dass
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{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}</math>}}
 +
 
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Für eine beliebige komplexe Zahl <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math> gilt daher, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
-
Falls <math>|\,z\,|=1</math>, (Also dass <math>z</math> am Einheitskreis liegt) erhalten wir den Sonderfall
+
Falls <math>|\,z\,|=1</math> (also, dass <math>z</math> am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
Diese Regel nennt man den ''Moivreschen Satz''. Wir wir sehen werden, ist diese Rege sehr wichtig wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.
+
Diese Regel nennt man den ''Moivreschen Satz''. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.
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Falls <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math>, bestimmen Sie <math>z^3</math> und <math>z^{100}</math>.
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Bestimme <math>z^3</math> und <math>z^{100}</math> für <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math> .
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Wir schreiben <math>z</math> in Polarform <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\times \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> und verwenden den Moivreschen Satz
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Wir schreiben <math>z</math> in Polarform <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> und verwenden den Moivreschen Satz
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
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''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
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Normalerweise würden wir hier die binomische Formel benutzen
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Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
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und mit den Moivreschen Satz erhalten wir
+
aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
-
Nachdem die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleich setzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten
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Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten
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Vereinfachen Sie <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
+
Vereinfache <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
Wir schreiben die Zahlen <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> und <math>1+i</math> in Polarform
Wir schreiben die Zahlen <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> und <math>1+i</math> in Polarform
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*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
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Durch den Moivreschen Satz erhalten wir
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Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:</math>.}}
Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden
Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden
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== Die ''n''te Wurzel von komplexe Zahlen ==
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== B - ''n''te Wurzeln von komplexen Zahlen ==
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Eine komplexe <math>z</math> wird die ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt falls
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Eine komplexe Zahl <math>z</math> wird ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt, falls
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhaltet man indem man beide Zahlen auf Polarform bringt, und deren Betrag und Argument vergleicht.
+
Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.
-
Gegeben eine Zahl <math>w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)</math> nimmt man an dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhaltet so die Gleichung
+
Ist eine Zahl <math> w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
-
wo die den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
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wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\times 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Beachten Sie hier dass wir einen Multipel von <math>2\pi</math> zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.
+
Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
-
Wir erhalten also ''einen'' Wert für <math>r</math>, aber unendlich viele Werte für <math>\alpha</math>. Hingegen gibt es aber nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von <math>k</math> zwischen <math>k = 0</math> und <math>k = n - 1</math> erhalten wir verschiedene Argumente für <math>z</math>, und daher verschiedene Zahlen <math>z</math>. Für andere Werte von <math>k</math>, wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, nachdem die Funktionen <math>\cos \theta</math> und <math>\sin \theta</math> periodisch sind, und die Periodenlänge <math>2 \pi</math> haben. Also hat eine Gleichung auf der Form <math>z^n=w</math> genau <math>n</math> Wurzeln.
+
Wir erhalten also ''einen'' Wert für <math>r</math>, aber unendlich viele Werte für <math>\alpha</math>. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von <math>k</math> zwischen <math>k = 0</math> und <math>k = n - 1</math> erhalten wir verschiedene Argumente für <math>z</math> und daher verschiedene Zahlen <math>z</math>. Für andere Werte von <math>k</math> wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen <math>\cos \theta</math> und <math>\sin \theta</math> periodisch sind und die Periodenlänge <math>2 \pi</math> haben. Also hat eine Gleichung mit der Form <math>z^n=w</math> genau <math>n</math> Wurzeln.
 +
 
 +
Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um <math>2\pi/n</math> unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> verteilt und bilden ein ''n''-seitiges Polygon.
-
''Kommentar''. Beachten Sie dass das Argument der Lösungen sich immer mit <math>2\pi/n</math> unterscheidet. Also sind die Lösungen uniform auf den Kreis mit den Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> verteilt, und bilden ein ''n''-Seitiges Polygon.
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
'''Beispiel 4'''
-
Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
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Wir schreiben <math>z</math> and <math>16\,i</math> in Polarform
+
Wir schreiben <math>z</math> und <math>16\,i</math> in Polarform
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
-
Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten,erhalten wir
+
Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\times 2\pi,\end{align*}\qquad\text{i.e.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}}
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 153: Zeile 157:
-
==Exponentialform der komplexen Zahlen==
+
== C - Exponentialform der komplexen Zahlen==
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Wenn wir <math>i</math> als eine normale Zahl betrachten, und die komplexe Zahl <math>z</math> wie eine Funktion von nur <math>\alpha</math> betrachten( wo <math>r</math> also konstant ist),
+
Wenn wir <math>i</math> als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl <math>z</math> wie eine Funktion von nur <math>\alpha</math> betrachten (in der <math>r</math> also konstant ist), ergibt sich
{{Abgesetzte Formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
-
erhalten wir durch wiederholte Ableitung
+
und wir erhalten durch wiederholte Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}</math>}}
-
Die einzige reellen Funktionen die die dies erfüllen, sind Funktionen auf der Form <math>f(x)= e^{\,kx}</math>. Daher ist die folgende Definition natürlich;
+
Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form <math>f(x)= e^{\,kx}</math>. Daher stammt folgende Definition:
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
-
Dies ist auch eine Generalisierung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Substituieren wir <math>z=a+ib</math> erhalten wir
+
Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir <math>z=a+ib</math> erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
-
Die Definition von <math>e^{\,z}</math> kann wie eine Kurzform von der Polarform verwendet werden, nachdem <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
+
Die Definition von <math>e^{\,z}</math> kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
Zeile 178: Zeile 182:
''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
Für eine reelle Zahl <math>z</math> ist die Definition dieselbe wir für die reelle Exponentialfunktion. Nachdem <math>z=a+0\times i</math> erhalten wir
+
Für eine reelle Zahl <math>z</math> ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da <math>z=a+0\cdot i</math> erhalten wir
-
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\times i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \times 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
Zeile 186: Zeile 190:
''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
Eine weitere Folge dieser Definition erhalten wir durch den Moivrischen Satz
+
Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}</math>}}
-
und dies erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen,
+
Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}</math>}}
</div>
</div>
Zeile 200: Zeile 204:
-
Von den Definitionen oben, erhalten wir die Formel
+
Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
-
Diese Berühmte Formel wurde von Euler in den 18 Jahrhundert entdeckt.
+
Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.
</div>
</div>
Zeile 211: Zeile 215:
''' Beispiel 8'''
''' Beispiel 8'''
-
Lösen Sie die Gleichung <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
-
Wir lassen <math>w = z + i</math> sein. Wir erhalten so die Gleichung <math>\ w^3=-8i\,</math>. Wir bringen als erster Schritt <math>w</math> und <math>-8i</math> in Polarform
+
Wir lassen <math>w = z + i</math> sein. Wir erhalten so die Gleichung <math>\ w^3=-8i\,</math>. Wir bringen als ersten Schritt <math>w</math> und <math>-8i</math> in Polarform
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
-
In Polarform lautet die Gleichung <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math>; Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir
+
In Polarform lautet die Gleichung <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math>. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
Zeile 227: Zeile 231:
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
-
also <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> und <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
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also sind <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> und <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
</div>
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Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
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Löse die Gleichung <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
Wenn für <math>z=a+ib</math>, <math>|\,z\,|=r</math> und <math>\arg z = \alpha</math> ist, ist für <math>\overline{z}= a-ib</math> <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> und <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Also ist <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> und <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Die Gleichung lautet also
Wenn für <math>z=a+ib</math>, <math>|\,z\,|=r</math> und <math>\arg z = \alpha</math> ist, ist für <math>\overline{z}= a-ib</math> <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> und <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Also ist <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> und <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Die Gleichung lautet also
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{{Abgesetzte Formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{or}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}</math>}}
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Wir sehen direkt dass <math>r=0</math> eine der Lösungen ist, und daher die Lösung <math>z=0</math> ergibt. Nehmen wir an dass <math>r\not=0</math> erhalten wir die Gleichung <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir
+
Wir sehen direkt, dass <math>r=0</math> eine der Lösungen ist und daher die Lösung <math>z=0</math> ergibt. Nehmen wir an, dass <math>r\not=0</math> erhalten wir die Gleichung <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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== Quadratische Ergänzung ==
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== D - Quadratische Ergänzung ==
Die wohlbekannten Regeln
Die wohlbekannten Regeln
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
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die wir verwenden um Quadraten zu erweitern, können auch verwendet werden um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel,
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können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Dies kann verwendet werden um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel,
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Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Indem wir die Wurzeln berechnen erhalten wir dass <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> und dass <math>x=-2\pm 3</math>, und also <math>x=1</math> oder <math>x=-5</math>.
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Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> und, dass <math>x=-2\pm 3</math> und daher <math>x=1</math> oder <math>x=-5</math>.
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Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um einer der binomischen Formeln rückwärts verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung
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Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
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Addiere wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form:
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Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Diese Methode um quadratische Gleichungen zu lösen nennt man ''quadratische Ergänzung''.
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Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man ''quadratische Ergänzung''.
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
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<li> Löse die Gleichung <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
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Der Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-6</math> und daher müssen wir die Zahl <math>(-3)^2=9</math> als Konstante haben un quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir:
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Der Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-6</math> und daher müssen wir die Zahl <math>(-3)^2=9</math> als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>, und also ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.
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Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>. Daher ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.
</li>
</li>
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
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<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
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Die Gleichung kann wie <math>z^2+8z+17=0</math> geschrieben werden. Indemwir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
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Die Gleichung kann wie <math>z^2+8z+17=0</math> geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*}</math>}}
und daher ist <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Also sind die Wurzeln <math>z=-4-i</math> und <math>z=-4+i</math>.
und daher ist <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Also sind die Wurzeln <math>z=-4-i</math> und <math>z=-4+i</math>.
</li>
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</div>
</div>
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Allgemein addiert oder subtrahiert man eine Konstante sodass die Konstante in der linken Seite der Gleichung die Quadrate von den halben Koeffizienten vom ''x''-Term ist. Diese Methode ist ganz allgemein, und funktioniert auch für komplexe Gleichungen.
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Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des ''x''-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.
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Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
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Löse die Gleichung <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
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Der halbe Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Also müssen wir <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> zu beiden Seiten addieren
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Der halbe Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Also müssen wir <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> auf beiden Seiten addieren
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Wir sehen dass <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> und erhalten dadurch dass <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, also <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> oder <math>x=3</math>.
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Wir sehen, dass <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> und erhalten dadurch, dass <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, also <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> oder <math>x=3</math>.
</div>
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Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
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Löse die Gleichung <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Dadurch erhalten wir eine Allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
+
Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
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Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
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Löse die Gleichung <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
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Der halbe Koeffizient von <math>z</math> ist <math>-(6+2i)</math>, und also addieren wir die Quadrate von den Koeffizienten zu beiden Seiten der Gleichung,
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Der halbe Koeffizient von <math>z</math> ist <math>-(6+2i)</math>. Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
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Erweitern Wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite Quadratisch, erhalten wir
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Erweitern wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.
Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.
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</div>
</div>
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Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel,
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Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Ergänzen Sie <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math> quadratisch.
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Ergänze <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math> quadratisch.
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==Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel==
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== E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel==
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Manchmal ist es am einfachsten quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme Wie <math>\sqrt{a+ib}</math> entstehen. Man kann dann annehmen dass
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Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie <math>\sqrt{a+ib}</math> entstehen. Man kann dann annehmen, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
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Quadrieren wir beide Seiten erhalten wir
+
Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen erhalten wir
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Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
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Diese Gleichungen löst man zum Beispiel indem man <math>y= b/(2x)</math> in der ersten Gleichung substituiert.
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Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man <math>y= b/(2x)</math> in der ersten Gleichung ersetzt.
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Berechnen Sie <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
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Berechne <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
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Wir nehmen an dass <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math> wo <math>x</math> und <math>y</math> reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten erhalten wir
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Wir nehmen an, dass <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math>, wobei <math>x</math> und <math>y</math> reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*}</math>}}
und wir erhalten die beiden Gleichungen
und wir erhalten die beiden Gleichungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Von der zweiten Gleichung erhalten wir dass <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math>, und dies substituiert in der ersten Gleichung ergibt
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Von der zweiten Gleichung erhalten wir <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math>. Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
-
Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>x^2</math>, die wir am einfachsten Lösen indem wir <math>t=x^2</math> substituieren,
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Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>x^2</math>, die wir am einfachsten lösen, indem wir <math>t=x^2</math> substituieren
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
-
Die Lösungen sind <math>t = 1</math> und <math>t = -4</math>. Die letzte Lösung ist nicht gültig nachdem <math>x</math> und <math>y</math> reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, und dadurch
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Die Lösungen sind <math>t = 1</math> und <math>t = -4</math>. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da <math>x</math> und <math>y</math> reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen <math>x=\pm\sqrt{1}</math> und dadurch
-
* <math>\ x=-1\ </math> gibt dass <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
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* <math>\ x=-1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
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* <math>\ x=1\ </math> gibt dass <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
+
* <math>\ x=1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
Also ist
Also ist
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
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<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
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Wir erhalten durch die Allgemeine Lösungsformel (Siehe Beispiel 12) dass
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Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)
{{Abgesetzte Formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
</li>
</li>
-
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
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Zeile 454: Zeile 458:
</li>
</li>
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
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Division of both sides by <math>i</math> gives
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Division auf beiden Seiten durch <math>i</math> ergibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
Durch die Lösungsformel erhalten wir
Durch die Lösungsformel erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Wo wir und vom Beispiel 15 verwendet haben um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher
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indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Inhalt:

  • Der Moivresche Satz
  • Quadratische Gleichungen
  • Exponentialfunktionen
  • Quadratische Ergänzung

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
  • Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
  • Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
  • Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Moivrescher Satz

Die Rechenregeln  arg(zw)=argz+argw  und  zw=zw  bedeuten, dass

arg(zz)=argz+argzzz=zzargz3=3argzz3=z3etc. 


Für eine beliebige komplexe Zahl z=r(cos+isin) gilt daher, dass

zn=r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn). 

Falls z=1 (also, dass z am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall

(cos+isin)n=cosn+isinn.

Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.


Beispiel 1


Bestimme z3 und z100 für z=21+i .


Wir schreiben z in Polarform   z=12+i2=1cos4+isin4    und verwenden den Moivreschen Satz

z3z100=cos4+isin43=cos43+isin43=−12+12i=2−1+i=cos4+isin4100=cos4100+isin4100=cos25+isin25=cos+isin=−1.

Beispiel 2

Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:

(cosv+isinv)2=cos2v+i2sin2v+2isinvcosv=cos2v−sin2v+2isinvcosv,

aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:

(cosv+isinv)2=cos2v+isin2v.

Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten


cos2vsin2v=cos2v−sin2v,=2sinvcosv. 

Beispiel 3


Vereinfache   (3+i)14(1+i3)7(1+i)10.

Wir schreiben die Zahlen 3+i , 1+i3  und 1+i in Polarform

  • 3+i=2cos6+isin6 ,
  • 1+i3=2cos3+isin3 ,
  • 1+i=2cos4+isin4 .

Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir

(3+i)14(1+i3)7(1+i)10=214cos614+isin61427cos37+isin37(2)10cos410+isin410.

Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden

212cos629+isin629214cos614+isin614=22cos−615+isin−615=4cos−2+isin−2=−4i.


B - nte Wurzeln von komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl z wird nte Wurzel von w genannt, falls

zn=w.

Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.

Ist eine Zahl w=w(cos+isin) gegeben, nimmt man an, dass z=r(cos+isin) und erhält so die Gleichung

rn(cosn+isinn)=w(cos+isin),

wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

rnn=w,=+k2. 

Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von 2 zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.

r=nw=(+2k)nk=012... 

Wir erhalten also einen Wert für r, aber unendlich viele Werte für . Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von k zwischen k=0 und k=n−1 erhalten wir verschiedene Argumente für z und daher verschiedene Zahlen z. Für andere Werte von k wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen cos und sin periodisch sind und die Periodenlänge 2 haben. Also hat eine Gleichung mit der Form zn=w genau n Wurzeln.

Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um 2n unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius nw  verteilt und bilden ein n-seitiges Polygon.


Beispiel 4


Löse die Gleichung  z4=16i.


Wir schreiben z und 16i in Polarform

  • z=r(cos+isin),
  • 16i=16cos2+isin2 .

Die Gleichung  z4=16i  wird also

r4(cos4+isin4)=16cos2+isin2. 

Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

r44=16=2+k2d.h.r=416=2=8+k2k=0123 

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

z1z2z3z4=2cos8+isin8=2cos85+isin85=2cos89+isin89=2cos813+isin813

[Image]


C - Exponentialform der komplexen Zahlen

Wenn wir i als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl z wie eine Funktion von nur betrachten (in der r also konstant ist), ergibt sich

f()=r(cos+isin)

und wir erhalten durch wiederholte Ableitung

f()f()=−rsin+ricos=ri2sin+ricos=ir(cos+isin)=if()=−rcos−risin=i2r(cos+isin)=i2f()etc.

Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form f(x)=ekx. Daher stammt folgende Definition:

ei=cos+isin.

Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir z=a+ib erhalten wir

ez=ea+ib=eaeib=ea(cosb+isinb).

Die Definition von ez kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da z=r(cos+isin)=rei.


Beispiel 5

Für eine reelle Zahl z ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da z=a+0i erhalten wir

ez=ea+0i=ea(cos0+isin0)=ea1=ea.

Beispiel 6

Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.

ein=(cos+isin)n=cosn+isinn=ein 

Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.

axy=axy 

Beispiel 7


Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel

ei=cos+isin=−1

Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.

Beispiel 8

Löse die Gleichung  (z+i)3=−8i.


Wir lassen w=z+i sein. Wir erhalten so die Gleichung  w3=−8i. Wir bringen als ersten Schritt w und −8i in Polarform

  • w=r(cos+isin)=rei,
  • −8i=8cos23+isin23=8e3i2. 

In Polarform lautet die Gleichung  r3e3i=8e3i2  . Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir

r33=8,=32+2k,r=38,=2+2k3k=012. 

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

  • w1=2ei2=2cos2+isin2=2i, 
  • w2=2e7i6=2cos67+isin67=−3−i, 
  • w3=2e11i6=2cos611+isin611=3−i, 

also sind z1=2i−i=i, z2=−3−2i  und z3=3−2i .

Beispiel 9


Löse die Gleichung  z2=z.


Wenn für z=a+ib, z=r und argz= ist, ist für z=a−ib z=r und argz=−. Also ist z=rei und z=re−i. Die Gleichung lautet also

(rei)2=re−ioderr2e2i=re−i.

Wir sehen direkt, dass r=0 eine der Lösungen ist und daher die Lösung z=0 ergibt. Nehmen wir an, dass r=0 erhalten wir die Gleichung  re3i=1. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir

r3=1,=0+2k,r=1,=2k3,k=012. 

Die Wurzeln sind also

  • z1=e0=1,
  • z2=e2i3=cos32+isin32=−21+23i,
  • z3=e4i3=cos34+isin34=−21−23i, 
  • z4=0.


D - Quadratische Ergänzung

Die wohlbekannten Regeln

(a+b)2(a−b)2=a2+2ab+b2=a2−2ab+b2 

können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel

x2+4x+4x2−10x+25=(x+2)2,=(x−5)2.

Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel

x2+4x+4(x+2)2=9,=9.

Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass x+2=9  und, dass x=−23 und daher x=1 oder x=−5.


Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung

x2+4x−5=0.

Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form

x2+4x−5+9x2+4x+4=0+9=9.

Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man quadratische Ergänzung.


Beispiel 10

  1. Löse die Gleichung  x2−6x+7=2.

    Der Koeffizient von x ist −6 und daher müssen wir die Zahl (−3)2=9 als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir
    x2−6x+7+2x2−6x+9(x−3)2=2+2=4=4.

    Wir erhalten also x−3=2. Daher ist x=1 oder x=5.

  2. Löse die Gleichung  z2+21=4−8z.

    Die Gleichung kann wie z2+8z+17=0 geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
    z2+8z+17−1z2+8z+16 (z+4)2=0−1=−1=−1

    und daher ist z+4=−1 . Also sind die Wurzeln z=−4−i und z=−4+i.

Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des x-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.


Beispiel 11


Löse die Gleichung  x2−38x+1=2.


Der halbe Koeffizient von x ist −34. Also müssen wir −342=916  auf beiden Seiten addieren

x2−38x+916+1x−342+1x−342=2+916=934=925.

Wir sehen, dass x−34=35 und erhalten dadurch, dass x=3435, also x=−31 oder x=3.

Beispiel 12


Löse die Gleichung  x2+px+q=0.


Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

x2+px+2p2+qx+2p2x+2p=2p2=2p2−q=2p2−q .

Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen

x=−2p2p2−q. 

Beispiel 13


Löse die Gleichung  z2−(12+4i)z−4+24i=0.



Der halbe Koeffizient von z ist −(6+2i). Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung

z2−(12+4i)z+(−(6+2i))2−4+24i=(−(6+2i))2.

Erweitern wir die rechte Seite  (−(6+2i))2=36+24i+4i2=32+24i  und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir

(z−(6+2i))2−4+24i(z−(6+2i))2=32+24i=36.

Wir erhalten  z−(6+2i)=6  und daher die Wurzeln z=12+2i und z=2i.

Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel

x2+10x+3=x2+10x+25+3−25=(x+5)2−22.


Beispiel 14


Ergänze  z2+(2−4i)z+1−3i quadratisch.


Wir subtrahieren und addieren 21(2−4i)2=(1−2i)2=−3−4i  vom Ausdruck,

z2+(2−4i)z+1−3i=z2+(2−4i)z+(1−2i)2−(1−2i)2+1−3i=z+(1−2i)2−(1−2i)2+1−3i=z+(1−2i)2−(−3−4i)+1−3i=z+(1−2i)2+4+i.


E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel

Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie a+ib  entstehen. Man kann dann annehmen, dass

z=x+iy=a+ib. 

Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

(x+iy)2x2−y2+2xyi=a+ib=a+ib.

Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir

x2−y2=a,2xy=b. 

Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man y=b(2x) in der ersten Gleichung ersetzt.


Beispiel 15


Berechne  −3−4i .


Wir nehmen an, dass  x+iy=−3−4i  , wobei x und y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

(x+iy)2x2−y2+2xyi=−3−4i=−3−4i

und wir erhalten die beiden Gleichungen

x2−y22xy=−3,=−4. 

Von der zweiten Gleichung erhalten wir  y=−4(2x)=−2x . Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt

x2−4x2=−3x4+3x2−4=0.

Dies ist eine quadratische Gleichung für x2, die wir am einfachsten lösen, indem wir t=x2 substituieren

t2+3t−4=0.

Die Lösungen sind t=1 und t=−4. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da x und y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen x=1  und dadurch

  •  x=−1  ergibt, dass  y=−2(−1)=2,
  •  x=1  ergibt, dass  y=−21=−2.

Also ist

−3−4i=1−2i,−1+2i. 

Beispiel 16


  1. Löse die Gleichung  z2−2z+10=0.

    Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)
    z=11−10=1−9=13i. 
  2. Löse die Gleichung  z2+(4−2i)z−4i=0.

    Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten
    z=−2+i(−2+i)2+4i=−2+i4−4i+i2+4i=−2+i3=−23+i.
  3. Löse die Gleichung  iz2+(2+6i)z+2+11i=0.

    Division auf beiden Seiten durch i ergibt
    z2+i2+6iz+i2+11iz2+(6−2i)z+11−2i=0=0.

    Durch die Lösungsformel erhalten wir

    z=−3+i(−3+i)2−(11−2i)=−3+i−3−4i=−3+i(1−2i).

    indem wir das Beispiel 15 verwenden, um  −3−4i   zu erhalten. Die Lösungen sind daher

    z=−2−i,−4+3i. 



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