3.3 Potenzen und Wurzeln

Beispiel 1

Bestimme z3 und z100 für z=21+i .

Wir schreiben z in Polarform   z=12+i2=1cos4+isin4    und verwenden den Moivreschen Satz

z3z100=cos4+isin43=cos43+isin43=−12+12i=2−1+i=cos4+isin4100=cos4100+isin4100=cos25+isin25=cos+isin=−1.

Beispiel 2

Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:

aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:

Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten

cos2vsin2v=cos2v−sin2v,=2sinvcosv.

Beispiel 3

Vereinfache   (3+i)14(1+i3)7(1+i)10.

Wir schreiben die Zahlen 3+i , 1+i3  und 1+i in Polarform

• 3+i=2cos6+isin6 ,
• 1+i3=2cos3+isin3 ,
• 1+i=2cos4+isin4 .

Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir

(3+i)14(1+i3)7(1+i)10=214cos614+isin61427cos37+isin37(2)10cos410+isin410.

Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden

212cos629+isin629214cos614+isin614=22cos−615+isin−615=4cos−2+isin−2=−4i.

Beispiel 4

Löse die Gleichung  z4=16i.

Wir schreiben z und 16i in Polarform

• z=r(cos+isin),
• 16i=16cos2+isin2 .

Die Gleichung  z4=16i  wird also

r4(cos4+isin4)=16cos2+isin2.

Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

r44=16=2+k2d.h.r=416=2=8+k2k=0123

Die Wurzeln der Gleichung sind daher z1z2z3z4=2cos8+isin8=2cos85+isin85=2cos89+isin89=2cos813+isin813

Beispiel 5

Für eine reelle Zahl z ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da z=a+0i erhalten wir

ez=ea+0i=ea(cos0+isin0)=ea1=ea.

Beispiel 6

Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.

ein=(cos+isin)n=cosn+isinn=ein

Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.

axy=axy

Beispiel 7

Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel

ei=cos+isin=−1

Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.

Beispiel 8

Löse die Gleichung  (z+i)3=−8i.

Wir lassen w=z+i sein. Wir erhalten so die Gleichung  w3=−8i. Wir bringen als ersten Schritt w und −8i in Polarform

• w=r(cos+isin)=rei,
• −8i=8cos23+isin23=8e3i2. 

In Polarform lautet die Gleichung  r3e3i=8e3i2  . Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir

r33=8,=32+2k,r=38,=2+2k3k=012.

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

• w1=2ei2=2cos2+isin2=2i, 
• w2=2e7i6=2cos67+isin67=−3−i, 
• w3=2e11i6=2cos611+isin611=3−i, 

also sind z1=2i−i=i, z2=−3−2i  und z3=3−2i .

Beispiel 9

Löse die Gleichung  z2=z.

Wenn für z=a+ib, z=r und argz= ist, ist für z=a−ib z=r und argz=−. Also ist z=rei und z=re−i. Die Gleichung lautet also

(rei)2=re−ioderr2e2i=re−i.

Wir sehen direkt, dass r=0 eine der Lösungen ist und daher die Lösung z=0 ergibt. Nehmen wir an, dass r=0 erhalten wir die Gleichung  re3i=1. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir

r3=1,=0+2k,r=1,=2k3,k=012.

Die Wurzeln sind also

• z1=e0=1,
• z2=e2i3=cos32+isin32=−21+23i,
• z3=e4i3=cos34+isin34=−21−23i, 
• z4=0.

Beispiel 10

1. Löse die Gleichung  x2−6x+7=2.
   
   Der Koeffizient von x ist −6 und daher müssen wir die Zahl (−3)2=9 als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir

   x2−6x+7+2x2−6x+9(x−3)2=2+2=4=4.

   Wir erhalten also x−3=2. Daher ist x=1 oder x=5.

2. Löse die Gleichung  z2+21=4−8z.
   
   Die Gleichung kann wie z2+8z+17=0 geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

   z2+8z+17−1z2+8z+16 (z+4)2=0−1=−1=−1

   und daher ist z+4=−1 . Also sind die Wurzeln z=−4−i und z=−4+i.

Beispiel 11

Löse die Gleichung  x2−38x+1=2.

Der halbe Koeffizient von x ist −34. Also müssen wir −342=916  auf beiden Seiten addieren

x2−38x+916+1x−342+1x−342=2+916=934=925.

Wir sehen, dass x−34=35 und erhalten dadurch, dass x=3435, also x=−31 oder x=3.

Beispiel 12

Löse die Gleichung  x2+px+q=0.

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

x2+px+2p2+qx+2p2x+2p=2p2=2p2−q=2p2−q .

Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen

x=−2p2p2−q.

Beispiel 13

Löse die Gleichung  z2−(12+4i)z−4+24i=0.

Der halbe Koeffizient von z ist −(6+2i). Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung

Erweitern wir die rechte Seite  (−(6+2i))2=36+24i+4i2=32+24i  und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir

Wir erhalten  z−(6+2i)=6  und daher die Wurzeln z=12+2i und z=2i.

Beispiel 14

Ergänze  z2+(2−4i)z+1−3i quadratisch.

Wir subtrahieren und addieren 21(2−4i)2=(1−2i)2=−3−4i  vom Ausdruck,

z2+(2−4i)z+1−3i=z2+(2−4i)z+(1−2i)2−(1−2i)2+1−3i=z+(1−2i)2−(1−2i)2+1−3i=z+(1−2i)2−(−3−4i)+1−3i=z+(1−2i)2+4+i.

Beispiel 15

Berechne \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.

Wir nehmen an, dass \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ , wobei \displaystyle x und \displaystyle y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

und wir erhalten die beiden Gleichungen

Von der zweiten Gleichung erhalten wir \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ . Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle x^2, die wir am einfachsten lösen, indem wir \displaystyle t=x^2 substituieren

Die Lösungen sind \displaystyle t = 1 und \displaystyle t = -4. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da \displaystyle x und \displaystyle y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen \displaystyle x=\pm\sqrt{1} und dadurch

• \displaystyle \ x=-1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
• \displaystyle \ x=1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

Also ist

Beispiel 16

1. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.
   
   Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)

   \displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}

2. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}
   
   Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten

   \displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}

3. Löse die Gleichung \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}
   
   Division auf beiden Seiten durch \displaystyle i ergibt

   \displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

   Durch die Lösungsformel erhalten wir

   \displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*}

   indem wir das Beispiel 15 verwenden, um \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ zu erhalten. Die Lösungen sind daher

   \displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}