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Lösung 1.3:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
+
# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
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# Endpunkte.
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# Randstellen.
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Wir untersuchen zuerst die Bedienungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, wird er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab um die stationären Punkte zu finden,
+
Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
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&= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{.}
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&= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist, und wir erhalten die Gleichung
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Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Die linke Seite ist null wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder
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Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten wenn wir <math>t=x^{2}</math> substituieren,
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Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir <math>t=x^{2}</math> substituieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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t^2 + 2t - 1 &= 0\,,\\[5pt]
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t^2 + 2t - 1 &= 0\,\\[5pt]
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(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,,\\[5pt]
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(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,\\[5pt]
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(t+1)^2 &= 2\,,
+
(t+1)^2 &= 2\,
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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und die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur einer dieser Lösungen ist positiv, und kann also <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
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Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
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Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,
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Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>,
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<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.
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<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>.
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Wir bestimmen deren Charakter indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass
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Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
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und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> in Bezug auf <math>x^{2}</math> erhalten wir,
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und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]
1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]
&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]
&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]
-
&= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2
+
&= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\,.
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
Die Ableitung ist also
Die Ableitung ist also
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>.}}
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Faktoren
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Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.
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wo wir einfach die Vorzeichen der einzelnen erhalten.
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|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
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|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-\sqrt{ \sqrt{2} - 1}</math>
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|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-\sqrt{ \sqrt{2}-1}</math>
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|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
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Multiplizieren wir die einzelnen Faktoren, erhalten das Vorzeichen der Ableitung.
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Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
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Die Funktion hat also ein lokales Maxima im Punkt <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minima im Punkt <math>x=0</math>.
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Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=0</math>.

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit f(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner 1+x4 ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.

f(x)=1+x421+x21+x4−1+x21+x4=1+x422x1+x4−1+x24x3=1+x422x+2x5−4x3−4x5=1+x422x1−2x2−x4

Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

2x1−2x2−x4=0. 

Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren x oder 1−2x2−x4 null ist. Also ist x=0 oder

1−2x2−x4=0.

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir t=x2 substituieren,

1−2t−t2=0.

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

t2+2t−1(t+1)2−12−1(t+1)2=0=0=2

Die Lösungen sind t=−12 . Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit x2 sein. Also ist t=−1+2=x2 .

Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, x=−2−1 , x=0 und x=2−1 .

Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

f(x)=1+x422x1−2x2−x4

und durch quadratische Ergänzung von 1−2x2−x4 (als Gleichung in x2) erhalten wir

1−2x2−x4=1−2x2+x4=1−x2+12−12=2−x2+12

Die Ableitung ist also

f(x)=1+x422x2−x2+12.

Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.


x −2−1  0 2−1 
2x − − − 0 + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle (x^4 + 1)^2 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.


\displaystyle x \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)} \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) \displaystyle \searrow \displaystyle 1 \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) \displaystyle \searrow

Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=0.

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