Lösung 3.4:5
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Rechenfehler korrigiert) |
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| - | Ein Polynom hat die dreifache | + | Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält. |
In unseren Fall bedeutet dies, dass | In unseren Fall bedeutet dies, dass | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}} | {{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}} | ||
| - | wobei <math>z=c</math> die dreifache | + | wobei <math>z=c</math> die dreifache Nullstelle ist und |
| - | <math>z=d</math> die vierte | + | <math>z=d</math> die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat. |
Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt. | Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt. | ||
| - | + | Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
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\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
| - | + | Aus der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math> | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
| - | c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = | + | c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = -10\,,\\[5pt] |
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt] | b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt] | ||
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt] | c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt] | ||
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Daher gibt es zwei mögliche Antworten, | Daher gibt es zwei mögliche Antworten, | ||
| - | :*<math>a= | + | :*<math>a=-10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>, |
| - | :*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache | + | :*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>. |
Version vom 19:37, 31. Aug. 2011
Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle
In unseren Fall bedeutet dies, dass
wobei
Wir bestimmen jetzt
Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir
und daher muss
Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
    3c+d3c(c+d)−c2(c−3d)c3d=0 =−6=a=b. |
Aus der ersten Gleichung erhalten wir
| =−6 |
also
\displaystyle \begin{align}
c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = -10\,,\\[5pt]
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
\end{align}
Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
- \displaystyle a=-10 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=-3,
- \displaystyle a=10 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=-1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=3.
