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Lösung 3.4:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(Rechenfehler korrigiert)
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&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
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&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d
+
&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
und daher muss
und daher muss
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
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3c+d &= 0\,,\\[5pt]
3c+d &= 0\,,\\[5pt]
3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
-
-c^2(c-3d) &= a\,,\\[5pt]
+
-c^2(c+3d) &= a\,,\\[5pt]
c^3d &= b\,\textrm{.}
c^3d &= b\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = -10\,,\\[5pt]
+
c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt]
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
-
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]
+
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt]
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
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Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
-
:*<math>a=-10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,
+
:*<math>a=-8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,
-
:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.
+
:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.
 +
 
 +
 
 +
Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:
 +
 
 +
<math>\begin{align}
 +
c=1,\ d=-3:\\
 +
(z-1)^3(z+3) = (z^3-3z^2+3z-1)(z+3)
 +
= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3
 +
= z^4 -6z^2 +8z-3
 +
\\[10pt]
 +
c=-1,\ d=3:
 +
(z+1)^3(z-3) = (z^3+3z^2+3z+1)(z-3)
 +
= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3
 +
= z^4 -6z^2 -8z-3
 +
\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>

Version vom 08:37, 1. Sep. 2011

Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle z=c, wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

z4−6z2+az+b=(z−c)3(z−d) ,

wobei z=c die dreifache Nullstelle ist und z=d die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

(z−c)3(z−d)=(z−c)2(z−c)(z−d)=(z2−2cz+c2)(z−c)(z−d)=(z3−3cz2+3c2z−c3)(z−d)=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d

und daher muss

z4−6z2+az+b=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d.

Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c+3d)c3d=0=−6=a=b.

Aus der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder c=1. Da d=−3c, ist d=3 oder d=−3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir a und b


c=1 d=−3:abc=−1 d=3:ab=−12(1+3(−3))=−8=13(−3)=−3=−(−1)2(−1−33)=8=(−1)33=−3.

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

  • a=−8 und b=−3 ergibt eine dreifache Nullstelle in z=1 und eine einfache Nullstelle in z=−3,
  • a=8 und b=−3 ergibt eine dreifache Nullstelle in z=−1 und eine einfache Nullstelle in z=3.


Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:

c=1 d=−3:(z−1)3(z+3)=(z3−3z2+3z−1)(z+3)=z4−3z3+3z2−z+3z3−9z2+9z−3=z4−6z2+8z−3c=−1 d=3:(z+1)3(z−3)=(z3+3z2+3z+1)(z−3)=z4+3z3+3z2+z−3z3−9z2−9z−3=z4−6z2−8z−3.

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