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Lösung 3.4:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (08:40, 1. Sep. 2011) (bearbeiten) (rückgängig)
(Rechenfehler endgültig beseitigt, Probe eingefügt)
 
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Zeile 1: Zeile 1:
-
A polynomial is said to have a triple root <math>z=c</math> if the equation contains the factor <math>(z-c)^3</math>.
+
Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
-
For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as
+
In unseren Fall bedeutet dies, dass
-
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}
-
according to the factor theorem, where <math>z=c</math> is the triple root and
+
wobei <math>z=c</math> die dreifache Nullstelle ist und
-
<math>z=d</math> is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots, taking into account multiplicity).
+
<math>z=d</math> die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.
-
We will now try to determine <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> and <math>d</math> so that both sides in the factorization above agree.
+
Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.
-
If we expand the right-hand side above, we get
+
Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 17: Zeile 17:
&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
-
&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d
+
&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and this means that we must have
+
und daher muss
-
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
-
Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives
+
Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
3c+d &= 0\,,\\[5pt]
3c+d &= 0\,,\\[5pt]
3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
-
-c^2(c-3d) &= a\,,\\[5pt]
+
-c^2(c+3d) &= a\,,\\[5pt]
c^3d &= b\,\textrm{.}
c^3d &= b\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
From the first equation, we obtain <math>d=-3c</math> and substituting this into the second equation gives us an equation for <math>c</math>,
+
Aus der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 40: Zeile 40:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
i.e. <math>c=-1</math> or <math>c=1</math>. The relation <math>d=-3c</math> gives that the corresponding values for <math>d</math> are <math>d=3</math> and <math>d=-3</math>. The two last equations give us the corresponding values for
+
also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Da <math>d=-3c</math>, ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
-
<math>a</math> and <math>b</math>,
+
<math>a</math> und <math>b</math>
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = 8\,,\\[5pt]
+
c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt]
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
-
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]
+
c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt]
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
 +
Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
-
Therefore, there are two different answers,
+
:*<math>a=-8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,
-
:*<math>a=8</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=1</math> and the single root <math>z=-3</math>,
+
:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.
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:*<math>a=10</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=-1</math> and the single root <math>z=3</math>.
+
 
 +
Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:
 +
 
 +
<math>\begin{align}
 +
c=1,\ d=-3:\quad
 +
(z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\
 +
&= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\
 +
&= z^4 -6z^2 +8z-3
 +
\\[10pt]
 +
c=-1,\ d=3: \quad
 +
(z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\
 +
&= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\
 +
&= z^4 -6z^2 -8z-3
 +
\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle z=c, wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies, dass

z4−6z2+az+b=(z−c)3(z−d) ,

wobei z=c die dreifache Nullstelle ist und z=d die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d, sodass die obere Gleichung stimmt.

Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

(z−c)3(z−d)=(z−c)2(z−c)(z−d)=(z2−2cz+c2)(z−c)(z−d)=(z3−3cz2+3c2z−c3)(z−d)=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d

und daher muss

z4−6z2+az+b=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c+3d)z+c3d.

Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c+3d)c3d=0=−6=a=b.

Aus der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder \displaystyle c=1. Da \displaystyle d=-3c, ist \displaystyle d=3 oder \displaystyle d=-3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir \displaystyle a und \displaystyle b


\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt] b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt] c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt] b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.} \end{align}

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

  • \displaystyle a=-8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=-3,
  • \displaystyle a=8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Nullstelle in \displaystyle z=-1 und eine einfache Nullstelle in \displaystyle z=3.


Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:

\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad (z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\ &= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\ &= z^4 -6z^2 +8z-3 \\[10pt] c=-1,\ d=3: \quad (z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\ &= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\ &= z^4 -6z^2 -8z-3 \,\textrm{.} \end{align}

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